ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 24 · ФИПИ BE9A493 из 60

Подобие треугольников в трапеции

Основания $B C$ и $A D$ трапеции $A B C D$ равны соответственно 4 и 64, $B D = 16$ . Докажите, что треугольники $C B D$ и $B D A$ подобны.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала докажите самостоятельно

Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание BE9A49.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №24

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж и последовательное доказательство.

№24.

Из данных условия получаем равенство отношений сторон, которые образуют углы CBD и BDA.

\frac{CB}{BD}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}

\frac{BD}{DA}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}

$Чертёж к заданию ФИПИ BE9A49. Обозначения пояснены в решении.$

Основания BC и AD параллельны, а BD — секущая. Углы CBD и BDA являются накрест лежащими.

\angle CBD=\angle BDA

По двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними:

\triangle CBD\sim\triangle BDA

Что и требовалось доказать.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно доказать

Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Идея решения

Подобие треугольников в трапеции. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Дано: Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD=16 .
Доказать: Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Сравниваем две пары сторон

Из данных условия получаем равенство отношений сторон, которые образуют углы CBD и BDA.

\frac{CB}{BD}

=\frac{4}{16}

=\frac{1}{4}

\frac{BD}{DA}

=\frac{16}{64}

=\frac{1}{4}

Подобие треугольников в трапеции. Чертёж к доказательству ФИПИ BE9A49. — Вспомогательные линии показаны пунктиром. Утверждение доказывается для всех фигур, удовлетворяющих условию.

Доказываем равенство углов

Основания BC и AD параллельны, а BD — секущая. Углы CBD и BDA являются накрест лежащими.

\angle CBD

=\angle BDA

Применяем признак подобия

Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны. Поэтому треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.

\triangle CBD\sim\triangle BDA

Что проверяет эксперт в задании №24

За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.

2 балла: Доказательство верное, все необходимые шаги обоснованы.
1 балл: Доказательство в целом верное, но содержит отдельные неточности.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Измерения по рисунку и проверка одного частного примера не заменяют доказательство.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Выполнен чертёж с обозначениями из условия и всеми вспомогательными точками.Каждый переход обоснован определением, свойством или теоремой; доказательство подходит для любой фигуры из условия.Получено именно утверждение из задания: треугольники CBD и BDA подобны.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Сравниваем две пары сторон
Доказываем равенство углов
Применяем признак подобия

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Признак подобия по двум сторонам и углу между ними требует сравнивать именно углы между выбранными сторонами.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Одного равенства отношений сторон недостаточно: обязательно установите равенство углов между ними.
Соблюдайте порядок вершин: C ↔ B, B ↔ D, D ↔ A.

Все задания №24 (60)