ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 24 · ФИПИ 3842C438 из 60

Прямая через центр параллелограмма

Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $A B C D$ проведена прямая, пересекающая стороны $B C$ и $A D$ в точках $L$ и $N$ соответственно. Докажите, что отрезки $C L$ и $A N$ равны.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала докажите самостоятельно

Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 3842C4.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №24

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж и последовательное доказательство.

№24.

Диагонали параллелограмма делятся пополам. Следовательно, O — центр его симметрии.

OA=OC

OB=OD

$Чертёж к заданию ФИПИ 3842C4. Обозначения пояснены в решении.$

Прямая BC переходит в AD, а прямая LN, проходящая через O, — в себя. Поэтому L переходит в N.

При центральной симметрии отрезок CL переходит в AN. Их длины равны.

CL=AN

Что и требовалось доказать.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно доказать

Докажите, что отрезки CL и AN равны.

Идея решения

Прямая через центр параллелограмма. Докажите, что отрезки CL и AN равны.

Дано: Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны BC и AD в точках L и N соответственно.
Доказать: Докажите, что отрезки CL и AN равны.

Находим центр симметрии

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Поэтому при центральной симметрии относительно O вершина A переходит в C, а B — в D.

OA

=OC

OB

=OD

Прямая через центр параллелограмма. Чертёж к доказательству ФИПИ 3842C4. — Вспомогательные линии показаны пунктиром. Утверждение доказывается для всех фигур, удовлетворяющих условию.

Определяем, куда переходят точки пересечения

При этой симметрии прямая BC переходит в AD. Любая прямая через центр O переходит в себя: её противоположные лучи меняются местами. Следовательно, точка пересечения L переходит в N.

Используем сохранение расстояний

Симметрия сохраняет длины отрезков. Вершина C переходит в A, а точка L — в N, поэтому образ отрезка CL — отрезок AN. Они равны. Рассуждение остаётся верным, если секущая проходит через вершины параллелограмма.

CL

=AN

Что проверяет эксперт в задании №24

За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.

2 балла: Доказательство верное, все необходимые шаги обоснованы.
1 балл: Доказательство в целом верное, но содержит отдельные неточности.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Измерения по рисунку и проверка одного частного примера не заменяют доказательство.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Выполнен чертёж с обозначениями из условия и всеми вспомогательными точками.Каждый переход обоснован определением, свойством или теоремой; доказательство подходит для любой фигуры из условия.Получено именно утверждение из задания: отрезки CL и AN равны.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Находим центр симметрии
Определяем, куда переходят точки пересечения
Используем сохранение расстояний

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

При центральной симметрии относительно O точка X переходит в X′ так, что O является серединой XX′.
Центральная симметрия сохраняет расстояния и переводит прямую через центр в себя.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Точки пересечения не обязательно являются серединами сторон.
Не используйте рисунок как доказательство равенства: объясните, какие точки переходят друг в друга при симметрии.

Все задания №24 (60)