ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 24 · ФИПИ 63280417 из 60

Равноудалённость от прямых и биссектрисы

Биссектрисы углов $B$ и $C$ четырёхугольника $A B C D$ пересекаются в точке $O$ , лежащей на стороне $A D$ . Докажите, что точка $O$ равноудалена
от прямых $A B$ , $B C$ и $C D$ .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала докажите самостоятельно

Запишите номер 24, выполните чертёж и приведите полное доказательство, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 632804.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №24

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж и последовательное доказательство.

№24.

Опустим из точки O перпендикуляры OE, OF, OG на прямые BA, BC, CD соответственно. Именно их длины являются расстояниями от точки до этих прямых.

OE\perp BA

OF\perp BC

OG\perp CD

$Чертёж к заданию ФИПИ 632804. Обозначения пояснены в решении.$

Точка O лежит на биссектрисе угла при B, поэтому равноудалена от его сторон:

OE=OF

Из биссектрисы угла при C получаем второе равенство и объединяем результаты.

OF=OG

OE=OF=OG

Что и требовалось доказать.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж и обоснуйте каждый шаг доказательства. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно доказать

Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.

Идея решения

Равноудалённость от прямых и биссектрисы. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.

Дано: Биссектрисы углов B и C четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, лежащей на стороне AD.
Доказать: Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.

Определяем, какие расстояния сравниваем

OE\perp BA

OF\perp BC

OG\perp CD

Равноудалённость от прямых и биссектрисы. Чертёж к доказательству ФИПИ 632804. — Вспомогательные линии показаны пунктиром. Утверждение доказывается для всех фигур, удовлетворяющих условию.

Используем первую биссектрису

Точка O лежит на биссектрисе угла при B. Прямоугольные треугольники BOE и BOF имеют общую гипотенузу BO и равные острые углы при B. Они равны, поэтому равны их катеты, выражающие расстояния.

OE

=OF

Используем вторую биссектрису и объединяем равенства

Аналогично точка O лежит на биссектрисе угла при C, поэтому её расстояния до прямых BC и CD равны. В обеих парах участвует расстояние OF, значит, равны все три расстояния.

OF

=OG

OE

=OF

=OG

Что проверяет эксперт в задании №24

За задание можно получить до 2 баллов. Требуется доказать утверждение для всех фигур, которые удовлетворяют условию.

2 балла: Доказательство верное, все необходимые шаги обоснованы.
1 балл: Доказательство в целом верное, но содержит отдельные неточности.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Измерения по рисунку и проверка одного частного примера не заменяют доказательство.

Источники: проект демоверсии ФИПИ 2027 (задание 24) и материалы для экспертов 2026. Допустим другой математически верный способ доказательства.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Выполнен чертёж с обозначениями из условия и всеми вспомогательными точками.Каждый переход обоснован определением, свойством или теоремой; доказательство подходит для любой фигуры из условия.Получено именно утверждение из задания: точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены логические переходы в доказательствах, обозначения и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Определяем, какие расстояния сравниваем
Используем первую биссектрису
Используем вторую биссектрису и объединяем равенства

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра.
Точка на биссектрисе угла равноудалена от прямых, содержащих его стороны. Это следует из равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Речь идёт о расстояниях до прямых, поэтому основания перпендикуляров могут лежать на продолжениях сторон.
Равноудалённость от вершин не равнозначна равноудалённости от прямых.

Все задания №24 (60)