В тексте об Островском различим пояснение с собственной основой и цитату в кавычках. Внешне похожие двоеточия перед сообщением могут подчиняться разным правилам.
Шаг 1. Определим, что нужно сравнить
В 1, 2, 4 и 6 двоеточие соединяет части бессоюзного сложного предложения. В 5 оно открывает прямую речь Островского, поэтому это предложение исключаем.
Шаг 2. Разберём каждое предложение
(1) — входит в ответ
О связях Александра Николаевича Островского с Рыбинским театром говорит известный факт: в 1880 году запретили пьесу великого драматурга «Василиса Мелентьева».
Содержание сочетания «известный факт» раскрыто целым сообщением «запретили пьесу». Можно подставить «а именно». Двоеточие стоит между предикативными частями, а не перед отдельным поясняющим существительным.
(2) — входит в ответ
Цензура посчитала так: это произведение якобы подрывает «авторитет царской власти».
После «цензура посчитала так» сообщается, что именно она посчитала: «произведение подрывает авторитет». У обеих частей свои основы; двоеточие раскрывает указательное слово «так» в бессоюзной конструкции.
(3) — не входит в выбранную группу
Антрепренёр Рыбинского театра, некто Алексеев, обратился к Островскому с просьбой.
Двоеточия нет. «Некто Алексеев» выделено запятыми как приложение.
(4) — входит в ответ
Эта просьба заключалось в следующем: во что бы то ни стало надо выхлопотать разрешение на постановку этой пьесы в Рыбинске.
Слова «в следующем» раскрываются безличной частью «надо выхлопотать разрешение». Проверка — «в следующем, а именно…». Это пояснение с собственным предикативным центром; двоеточие разделяет бессоюзные части.
(5) — не входит в выбранную группу
Драматург не замедлил с ответом: «Разрешение на „Василису Мелентьеву‟ я готов дать с большим удовольствием».
За сообщением автора идёт дословная реплика Островского в кавычках. Двоеточие вводит прямую речь после слов автора. Не объединяем этот случай с обычным бессоюзным пояснением.
(6) — входит в ответ
Островский сдержал данное обещание: разрешение было получено.
«Разрешение было получено» поясняет, в чём состояло выполнение обещания. Основы «Островский сдержал» и «разрешение было получено» соединены без союза; двоеточие вводит раскрытие первой части.
(7) — не входит в выбранную группу
Рыбинские артисты с большим успехом поставили замечательную пьесу!
Двоеточия нет. Основа — «артисты поставили».
Шаг 3. Запишем ответ
Общее правило: двоеточие в бессоюзном сложном предложении. Ему соответствуют предложения 1, 2, 4, 6. Записываем их номера подряд без повторов, пробелов и разделителей: 1246.
Ответ:1246
ФИПИ: навигатор по пунктуации