(1) — не входит в выбранную группу
В Некрасовском районе Ярославской области есть удивительный уголок – Заболотский край.
Двоеточия нет. Название края поясняет слово «уголок» после тире.
(2) — входит в ответ
Он окружён невиданными природными красотами: озёрами, реками Волгой и Келнотью, костромскими разливами.
«Природными красотами» — обобщающее сочетание; далее перечислены озёра, реки, разливы в творительном падеже. Двоеточие вводит однородные дополнения.
(3) — входит в ответ
Холмистая местность Заболотья, покрытая лесом, привлекала внимание знаменитых охотников: М.М. Пришвина, А.С. Новикова-Прибоя.
После слов «знаменитых охотников» названы Пришвин и Новиков-Прибой. Это перечень лиц, раскрывающий обобщение. Причастный оборот «покрытая лесом» относится к другим знакам предложения.
(4) — не входит в выбранную группу
Любил охотиться в этих местах и Николай Алексеевич Некрасов.
Двоеточия нет. Здесь назван один любитель охоты без перечисления после обобщения.
(5) — не входит в выбранную группу
Его имя здесь свято чтут: местные старожилы рассказывают о поэте, поют песни на его слова.
Часть «старожилы рассказывают…, поют…» раскрывает, как чтут имя поэта. У неё собственная основа, поэтому двоеточие соединяет бессоюзные части, а не открывает ряд однородных дополнений.
(6) — не входит в выбранную группу
Радушно встретят вас в местной Заболотской школе.
Двоеточия нет. Сообщение о встрече в школе не содержит ни перечня после обобщения, ни второй части, присоединённой искомым знаком.
(7) — входит в ответ
Пригласят поиграть в народные игры: лапту, городки, горелки, ручеёк, чижик и другие.
«Народные игры» — обобщение; «лапту, городки, горелки, ручеёк, чижик» — однородные названия игр. Двоеточие ставится перед этим рядом.
(8) — не входит в выбранную группу
Приезжайте в Заболотье, вживую услышьте строки произведения русского поэта: «Дети, я вам расскажу про Мазая…»
Двоеточие вводит цитируемую строку поэта в кавычках. Запятая после обращения «Дети» находится внутри цитаты. Правило для двоеточия — оформление прямой речи.