Задание 32 из 46ДисперсияЯщенко

Линия №6

Ященко · ЕГЭ 2027 · Вариант 22 · Задание 6

Случайная величина $Z$ распределена по закону

(0 0, 5 3 0, 5)

Найдите дисперсию случайной величины $Z$ .

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 2,25

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Величина Z принимает значения 0, 3. Каждое значение учитываем с вероятностью из того же столбца.

Ключевая идея: из среднего квадратов вычесть квадрат среднего.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Величина Z принимает значения 0, 3. Каждое значение учитываем с вероятностью из того же столбца.

Находим математическое ожидание

Умножаем каждое значение на его вероятность и складываем. Получаем $M$ ( $Z$ ) = 1,5.

M (Z) = 0 \cdot 0, 5 + 3 \cdot 0, 5 = 1, 5

Находим среднее квадратов

Возводим в квадрат значения величины, а вероятности оставляем прежними. Среднее квадратов равно 4,5.

M (Z^{2}) = 0^{2} \cdot 0, 5 + 3^{2} \cdot 0, 5 = 4, 5

Вычисляем дисперсию

Из среднего квадратов вычитаем квадрат уже найденного среднего. Получаем $D$ ( $Z$ ) = 2,25.

D (Z) = M (Z^{2}) - M (Z)^{2} = 4, 5 - 1, 5^{2} = 2, 25

Проверяем по отклонениям от среднего

Если отдельно взвесить квадраты отклонений от среднего 1,5, сумма также равна 2,25. Дисперсия неотрицательна.

D (Z) = (0 - 1, 5)^{2} \cdot 0, 5 + (3 - 1, 5)^{2} \cdot 0, 5 = 2, 25

Ответ2,25

Ответ: сборник под редакцией И. В. Ященко «ЕГЭ 2027. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов», вариант 22, задание 6, с. 165.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

В первой строке распределения стоят значения величины, во второй — соответствующие им вероятности.
Вероятности неотрицательны, а их сумма равна 1.
Дисперсия: $D$ ( $X$ ) = $M$ ( $X$ $^{2}$ ) − ( $M$ ( $X$ )) $^{2}$ .
В $M$ ( $X$ $^{2}$ ) в квадрат возводятся значения, а не вероятности.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Перепутать среднее квадратов M(X $^{2}$ ) и квадрат среднего (M(X)) $^{2}$ .
Возвести в квадрат вероятности вместо значений случайной величины.
Извлечь квадратный корень: в условии требуется дисперсия, а не стандартное отклонение.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1
Среднее равно 1,5, среднее квадратов — 4,5.
2
Дисперсия равна 2,25 и неотрицательна.
3
Итоговый ответ соответствует вопросу: 2,25.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №6Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Случайная величина Z распределена по закону