Всего выпущено 100 000 лотерейных билетов. Сумма выигрышей и число выигрышных билетов показаны в таблице.

Выигрыш и число выигрышных билетов
Выигрыш	100 р.	500 р.	1000 р.	50 тыс. р.	100 тыс. р.
Число выигрышных билетов	500	100	50	10	1

Найдите математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет», который получит один случайный покупатель лотерейного билета. Ответ дайте в рублях.

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 7,5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Выигрышные билеты распределены по пяти категориям. Среди всех 100000 билетов есть и 99339 невыигрышных: их выигрыш равен нулю, но они входят в знаменатель.

Ключевая идея: найти общий фонд выигрышей и разделить его на число всех выпущенных билетов.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Приводим выигрыши к рублям

50 тыс. р. = 50 000 рублей, 100 тыс. р. = 100 000 рублей. Используем одинаковую единицу для всех столбцов.

Находим фонд выигрышей

Размер каждого выигрыша умножаем на число соответствующих билетов. Общий фонд равен 750000 рублей.

100 \cdot 500 + 500 \cdot 100 + 1000 \cdot 50 + 50000 \cdot 10 + 100000 \cdot 1 = 750000

Находим средний выигрыш на билет

Каждый из 100000 билетов равновозможен. Делим весь фонд на число всех билетов, а не только выигрышных.

M (X) = \frac{750000}{100000} = 7, 5

Проверяем через отдельные вклады

Если по каждому столбцу отдельно разделить произведение выигрыша и количества билетов на общее число билетов, получатся вклады 0,5, 0,5, 0,5, 5, 1. Их сумма равна 7,5 рубля.

0, 5 + 0, 5 + 0, 5 + 5 + 1 = 7, 5

Ответ7,5 руб.

Ответ: сборник под редакцией И. В. Ященко «ЕГЭ 2027. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов», вариант 31, задание 6, с. 170.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Для $N$ равновозможных билетов вероятность выигрыша равна числу таких билетов, делённому на $N$ .
Средний выигрыш равен общему фонду выигрышей, делённому на число всех билетов.
Нулевой выигрыш не меняет сумму, но невыигрышные билеты входят в $N$ .

Открыть теорию по математике →

Самопроверка