Задание 37 из 46ДисперсияЯщенко

Линия №6

Ященко · ЕГЭ 2027 · Вариант 27 · Задание 6

Найдите дисперсию случайной величины $X$ , если известно её распределение:

X : (3 \frac{2}{5} 4 \frac{1}{5} 5 \frac{2}{5})

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,8

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Величина X принимает значения 3, 4, 5. Каждое значение учитываем с вероятностью из того же столбца.

Ключевая идея: из среднего квадратов вычесть квадрат среднего.

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Величина X принимает значения 3, 4, 5. Каждое значение учитываем с вероятностью из того же столбца.

Находим математическое ожидание

Умножаем каждое значение на его вероятность и складываем. Получаем $M$ ( $X$ ) = 4.

M (X) = 3 \cdot \frac{2}{5} + 4 \cdot \frac{1}{5} + 5 \cdot \frac{2}{5} = 4

Находим среднее квадратов

Возводим в квадрат значения величины, а вероятности оставляем прежними. Среднее квадратов равно 16,8.

M (X^{2}) = 3^{2} \cdot \frac{2}{5} + 4^{2} \cdot \frac{1}{5} + 5^{2} \cdot \frac{2}{5} = 16, 8

Вычисляем дисперсию

Из среднего квадратов вычитаем квадрат уже найденного среднего. Получаем $D$ ( $X$ ) = 0,8.

D (X) = M (X^{2}) - M (X)^{2} = 16, 8 - 4^{2} = 0, 8

Проверяем по отклонениям от среднего

Если отдельно взвесить квадраты отклонений от среднего 4, сумма также равна 0,8. Дисперсия неотрицательна.

D (X) = (3 - 4)^{2} \cdot \frac{2}{5} + (4 - 4)^{2} \cdot \frac{1}{5} + (5 - 4)^{2} \cdot \frac{2}{5} = 0, 8

Ответ0,8

Ответ: сборник под редакцией И. В. Ященко «ЕГЭ 2027. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов», вариант 27, задание 6, с. 168.

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

В первой строке распределения стоят значения величины, во второй — соответствующие им вероятности.
Вероятности неотрицательны, а их сумма равна 1.
Дисперсия: $D$ ( $X$ ) = $M$ ( $X$ $^{2}$ ) − ( $M$ ( $X$ )) $^{2}$ .
В $M$ ( $X$ $^{2}$ ) в квадрат возводятся значения, а не вероятности.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Перепутать среднее квадратов M(X $^{2}$ ) и квадрат среднего (M(X)) $^{2}$ .
Возвести в квадрат вероятности вместо значений случайной величины.
Извлечь квадратный корень: в условии требуется дисперсия, а не стандартное отклонение.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1
Среднее равно 4, среднее квадратов — 16,8.
2
Дисперсия равна 0,8 и неотрицательна.
3
Итоговый ответ соответствует вопросу: 0,8.

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №6Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите дисперсию случайной величины X, если известно её распределение: