Предложение 1 — запятых нет
Фольклор и русская история являются источниками вдохновения художников современных Мстёры и Жостова.
Союзы в разных однородных рядах«Фольклор и история» — подлежащие, «Мстёры и Жостова» — отдельная пара зависимых слов. В каждой группе одиночное «и». Определение «современных» относится к этой паре и запятых не создаёт.
Итог: запятых нет. Номер 1 не подходит: требуется ровно одна запятая.
Предложение 2 — запятых нет
В поэме Н.А. Некрасова «Кому на Руси жить хорошо» в той или иной степени использованы все основные жанры фольклора.
Одиночный союз при однородных членахВ сочетании «в той или иной степени» два определения соединены одиночным «или», без запятой. Название поэмы заключено в кавычки и включено в наименование произведения. Отдельным придаточным предложением здесь оно не является.
Итог: запятых нет. Номер 2 не подходит: требуется ровно одна запятая.
Предложение 3 — 2 запятые
Каких только песен не поют в Москве, и на её окраинах, и в других городах!
Повторяющиеся союзыТри места соединены повторяющимся «и»: «в Москве, и на её окраинах, и в других городах». Хотя перед первым обстоятельством союза нет, запятые разделяют весь ряд. Получаем два знака, а не один.
Итог: 2 запятые. Номер 3 не подходит: требуется ровно одна запятая.
Предложение 4 — 1 запятая
Поэта можно любить или не любить, принимать его идеи или быть их противником.
Попарное соединениеЗдесь две группы возможных действий: «любить или не любить, принимать идеи или быть противником». Между группами союза нет — нужна запятая после второго «любить». Внутри каждой пары одиночное «или» запятой не требует.
Итог: 1 запятая. Включаем номер 4 в ответ.
Предложение 5 — 1 запятая
Сказка дала волю человеческому воображению, и тем самым она сослужила огромную службу литературе.
Граница частей сложного предложенияОсновы «сказка дала» и «она сослужила» соединены «и». Во второй части собственное подлежащее «она», поэтому перед союзом нужна запятая. «Тем самым» выражает следствие и не обособляется как вводное сочетание.
Итог: 1 запятая. Включаем номер 5 в ответ.