Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ 3FECDD62 из 152

Биссектриса через середину боковой стороны трапеции

Боковые стороны AB  и CD  трапеции ABCD  равны соответственно 16 и 34,
а основание BC  равно 2. Биссектриса угла ADC  проходит через середину стороны AB . Найдите площадь трапеции.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 3FECDD.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Пусть M — середина AB, K=DM∩BCK=DM\cap BC. Треугольники AMD и BMK равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому BK = AD.

BK=ADBK=AD
Чертёж к заданию ФИПИ 3FECDD. Обозначения пояснены в решении.

Так как DK — биссектриса, углы CDK и KDA равны. Углы KDA и DKC равны из параллельности оснований. Значит, треугольник DCK равнобедренный: CK = CD. При этом CK = CB + BK.

CK=CDCK=CD
AD=BK=CD−BC=34−2=32AD=BK=CD-BC=34-2=32

Проведём CE∥ABCE\parallel AB, E∈ADE\in AD. ABCE — параллелограмм.

CE=16CE=16
DE=32−2=30DE=32-2=30
CD=34CD=34

Проверим обратную теорему Пифагора для треугольника CED. Квадрат стороны CD равен сумме квадратов CE и DE, поэтому угол CED прямой.

162+302=1156=34216^2+30^2=1156=34^2
CE⊥ADCE\perp AD
h=CE=16h=CE=16

Умножаем полусумму оснований на найденную высоту.

S=AD+BC2h=32+22⋅16=272S=\frac{AD+BC}{2}h=\frac{32+2}{2}\cdot 16=272

Ответ: 272272.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти площадь трапеции ABCD.

Идея решения

Продлим биссектрису до прямой BC, найдём второе основание и докажем, что боковая сторона AB является высотой.

Дано
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB . Найдите площадь трапеции.
Найти
Найти площадь трапеции ABCD.

Используем середину боковой стороны

Пусть M — середина AB. Продлим DM до пересечения с прямой BC в точке K за B. Треугольники AMD и BMK равны: AM = MB, углы при M вертикальные, а углы MAD и MBK равны как накрест лежащие при AD ∥ BK. Поэтому BK = AD.

BKBK=AD=AD

Чертёж и обозначения

Биссектриса через середину боковой стороны трапеции. Чертёж к задаче ФИПИ 3FECDD.
Обозначения на чертеже
  • Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 16 и 34, а основание BC равно 2. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB . Найдите площадь трапеции.
  • Вспомогательные отрезки показаны пунктиром. Чертёж можно открыть крупнее.
Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.
Открыть схему крупнее ↗

Используем биссектрису угла D

Так как DK — биссектриса, углы CDK и KDA равны. Углы KDA и DKC равны из параллельности оснований. Значит, треугольник DCK равнобедренный: CK = CD. При этом CK = CB + BK.

CKCK=CD=CD
ADAD=BK=BK=CD=CD−BC-BC=34=34−2-2=32=32

Строим треугольник с известными сторонами

Проведём CE параллельно AB до пересечения с AD. Четырёхугольник ABCE — параллелограмм, поэтому CE = AB, AE = BC. Тогда DE = AD − BC.

CECE=16=16
DEDE=32=32−2-2=30=30
CDCD=34=34

Доказываем, что CE является высотой

Проверим обратную теорему Пифагора для треугольника CED. Квадрат стороны CD равен сумме квадратов CE и DE, поэтому угол CED прямой.

16216^2+302+30^2=1156=1156=342=34^2
CE⊥ADCE\perp AD
hh=CE=CE=16=16

Вычисляем площадь

Умножаем полусумму оснований на найденную высоту.

SS=AD+BC2h=\frac{AD+BC}{2}h=32+22=\frac{32+2}{2}⋅16\cdot 16=272=272

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла
Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл
Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов
Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Используем середину боковой стороны
  2. Используем биссектрису угла D
  3. Строим треугольник с известными сторонами
  4. Доказываем, что CE является высотой
  5. Вычисляем площадь
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Равенство треугольников позволяет переносить длины через середину отрезка.
  • Если квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Нельзя заранее считать AB высотой: перпендикулярность нужно доказать.
  • Точка K лежит на продолжении BC за B, поэтому CK = CB + BK.
Все задания №25 (152)