Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ 22C75667 из 152

Вписанная окружность и диагонали трапеции

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь
равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 22C756.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Пусть AD = a, BC = b, AB = CD = l. По свойству описанного четырёхугольника:

a+b=2la+b=2l
l=1204=30l=\frac{120}{4}=30
a+b=60a+b=60
Чертёж к заданию ФИПИ 22C756. Обозначения пояснены в решении.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому высота равна площади, делённой на боковую сторону l.

S=a+b2h=lhS=\frac{a+b}{2}h=lh
h=54030=18h=\frac{540}{30}=18

Проведём BH⊥ADBH\perp AD. Тогда AH=a−b2AH=\frac{a-b}{2}.

AH=302−182=24AH=\sqrt{30^2-18^2}=24
a−b=2AH=48a-b=2AH=48
a=54,b=6a=54,\quad b=6

Пусть O=AC∩BDO=AC\cap BD, OQ⊥BCOQ\perp BC, OQ = t. Из подобия △BOC∼△DOA\triangle BOC\sim\triangle DOA:

th−t=ba\frac{t}{h-t}=\frac{b}{a}
t=bha+bt=\frac{bh}{a+b}
t=6⋅1860=95t=\frac{6\cdot 18}{60}=\frac{9}{5}

Ответ: 95\frac{9}{5}.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти расстояние от пересечения диагоналей до меньшего основания.

Идея решения

Сначала восстановим основания и высоту, затем используем подобие треугольников у пересечения диагоналей.

Дано
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Найти
Найти расстояние от пересечения диагоналей до меньшего основания.

Используем условие о вписанной окружности

Обозначим большее основание AD через a, меньшее BC — через b, боковую сторону — через l. В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны. Поэтому a + b = 2l. Периметр равен 4l.

aa+b+b=2l=2l
ll=1204=\frac{120}{4}=30=30
aa+b+b=60=60

Чертёж и обозначения

Вписанная окружность и диагонали трапеции. Чертёж к задаче ФИПИ 22C756.
Обозначения на чертеже
  • В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
  • Вспомогательные отрезки показаны пунктиром. Чертёж можно открыть крупнее.
Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.
Открыть схему крупнее ↗

Находим высоту

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому высота равна площади, делённой на боковую сторону l.

SS=a+b2h=\frac{a+b}{2}h=lh=lh
hh=54030=\frac{540}{30}=18=18

Находим основания

Опустим из B высоту BH на AD. У равнобедренной трапеции отрезок AH равен половине разности оснований. По теореме Пифагора в ABH:

AHAH=302−182=\sqrt{30^2-18^2}=24=24
aa−b-b=2AH=2AH=48=48
aa=54,b=54,\quad b=6=6

Используем подобие у диагоналей

Пусть O — точка пересечения диагоналей, OQ — расстояние до BC. Треугольники BOC и DOA подобны: углы при O вертикальные, а ещё по паре углов равны из параллельности оснований. Их высоты относятся как основания. Если OQ = t, расстояние до AD равно h − t.

th−t\frac{t}{h-t}=ba=\frac{b}{a}
tt=bha+b=\frac{bh}{a+b}
tt=6⋅1860=\frac{6\cdot 18}{60}=95=\frac{9}{5}

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла
Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл
Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов
Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Используем условие о вписанной окружности
  2. Находим высоту
  3. Находим основания
  4. Используем подобие у диагоналей
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • В четырёхугольнике с вписанной окружностью суммы противоположных сторон равны.
  • В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна половине разности оснований.
  • У подобных треугольников соответствующие высоты относятся как соответствующие стороны.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Расстояние от пересечения диагоналей до меньшего основания меньше расстояния до большего.
  • Не подменяйте точку пересечения диагоналей центром вписанной окружности.
Все задания №25 (152)