Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ 65B0A088 из 152

Окружность через две точки, касающаяся луча

Точки M  и N  лежат на стороне AC  треугольника ABC  на расстояниях соответственно 9 и 35 от вершины A . Найдите радиус окружности, проходящей через точки M  и N  и касающейся луча AB , если cos∠BAC= 35 6 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 65B0A0.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Пусть T — точка касания, O — центр, R — радиус. По теореме о касательной и секущей:

AT2=9⋅35=315AT^2=9\cdot 35=315
AT=3⋅35AT=3 \cdot \sqrt{35}
Чертёж к заданию ФИПИ 65B0A0. Обозначения пояснены в решении.

Угол BAC острый, поскольку его косинус положителен. Поэтому синус берём с положительным знаком.

sin⁡∠BAC=1−(356)2=16\sin\angle BAC=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right)^2}=\frac{1}{6}

Направим ось x вдоль AB, а треугольник расположим над ней. Тогда:

A=(0;0)A=(0;0)
T=(3⋅35;0)T=(3 \cdot \sqrt{35};0)
O=(3⋅35;R)O=(3 \cdot \sqrt{35};R)
M=(3⋅352;32)M=(\frac{3 \cdot \sqrt{35}}{2};\frac{3}{2})

Из OM = R получаем:

(3⋅352−3⋅35)2+(32−R)2=R2\left(\frac{3 \cdot \sqrt{35}}{2}-3 \cdot \sqrt{35}\right)^2+\left(\frac{3}{2}-R\right)^2=R^2
81−2⋅9⋅3⋅35⋅356+315=2⋅9⋅16⋅R81-2\cdot 9\cdot 3 \cdot \sqrt{35}\cdot \frac{\sqrt{35}}{6}+315=2\cdot 9\cdot \frac{1}{6}\cdot R

Радиус положителен. Точка T лежит на луче AB, как требует условие.

R=9+35−2⋅3⋅35⋅3562⋅16=27R=\frac{9+35-2\cdot 3 \cdot \sqrt{35}\cdot \frac{\sqrt{35}}{6}}{2\cdot \frac{1}{6}}=27

Ответ: 2727.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти радиус окружности.

Идея решения

Сначала найдём точку касания по теореме о касательной и секущей, затем воспользуемся координатами и равенством радиусов.

Расстояния
AM=9, AN=35AM=9,\ AN=35
Угол
cos⁡∠BAC=356\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{35}}{6}
Касание
Окружность проходит через M и N и касается именно луча AB.
Найти
Найти радиус окружности.

Находим расстояние до точки касания

Обозначим точку касания T, центр окружности O, радиус R. Так как M и N лежат на одном луче из A, а A находится вне окружности, по теореме о касательной и секущей AT² = AM · AN. Длина AT положительна.

AT2AT^2=9=9⋅35\cdot 35=315=315
ATAT=3=3 ⋅35\cdot \sqrt{35}

Чертёж и обозначения

Окружность через две точки, касающаяся луча. Чертёж к задаче ФИПИ 65B0A0.
Обозначения на чертеже
  • AM=9, AN=35AM=9,\ AN=35
  • cos⁡∠BAC=356\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{35}}{6}
  • Окружность проходит через M и N и касается именно луча AB.
  • Вспомогательные отрезки показаны пунктиром. Чертёж можно открыть крупнее.
Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.
Открыть схему крупнее ↗

Вычисляем синус угла

Угол BAC острый, поскольку его косинус положителен. Поэтому синус берём с положительным знаком.

sin⁡∠BAC\sin\angle BAC=1−(356)2=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{35}}{6}\right)^2}=16=\frac{1}{6}

Вводим координаты

Начало координат поместим в A, положительную полуось x направим вдоль луча AB, а треугольник расположим над ней. Тогда координаты M равны AM cos A и AM sin A. Радиус OT перпендикулярен AB. Окружность находится над AB, так как содержит M и N, поэтому ордината O равна положительному R.

AA=(0;0)=(0;0)
TT=(3⋅35;0)=(3 \cdot \sqrt{35};0)
OO=(3⋅35;R)=(3 \cdot \sqrt{35};R)
MM=(3⋅352;32)=(\frac{3 \cdot \sqrt{35}}{2};\frac{3}{2})

Используем равенство OM = R

Квадрат расстояния между O и M равен R². Раскрываем скобки и сокращаем R². Квадраты двух координат M в сумме равны AM², а AT² = AM · AN.

(3⋅352−3⋅35)2\left(\frac{3 \cdot \sqrt{35}}{2}-3 \cdot \sqrt{35}\right)^2+(32−R)2+\left(\frac{3}{2}-R\right)^2=R2=R^2
8181−2-2⋅9\cdot 9⋅3\cdot 3 ⋅35\cdot \sqrt{35}⋅356\cdot \frac{\sqrt{35}}{6}+315+315=2=2⋅9\cdot 9⋅16\cdot \frac{1}{6}⋅R\cdot R

Находим радиус и учитываем условие о луче

Делим равенство на 2 AM sin A. Точка T выбрана на положительной полуоси x, то есть на нужном луче AB. Отрицательная абсцисса точки касания дала бы касание противоположного луча и условию не соответствовала бы.

RR=9+35−2⋅3⋅35⋅3562⋅16=\frac{9+35-2\cdot 3 \cdot \sqrt{35}\cdot \frac{\sqrt{35}}{6}}{2\cdot \frac{1}{6}}=27=27

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла
Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл
Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов
Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Находим расстояние до точки касания
  2. Вычисляем синус угла
  3. Вводим координаты
  4. Используем равенство OM = R
  5. Находим радиус и учитываем условие о луче
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Квадрат длины касательной равен произведению длин секущей и её внешней части.
  • Радиус к точке касания перпендикулярен касательной.
  • Квадрат расстояния между точками равен сумме квадратов разностей их координат.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не заменяйте луч AB всей прямой: точка касания должна находиться по нужную сторону от A.
  • Из равенства sin² A = 1 − cos² A выбирайте положительный синус угла треугольника.
Все задания №25 (152)