Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ 0BFE66123 из 152

Полуокружность и точка пересечения высот

На стороне BC  остроугольного треугольника ABC  как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD  в точке M , AD=81 , MD=9 ,
H   —  точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 0BFE66.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Угол BMC прямой, так как опирается на диаметр BC. MD⊥BCMD\perp BC.

∠BMC=90∘\angle BMC=90^\circ
MD⊥BCMD\perp BC
Чертёж к заданию ФИПИ 0BFE66. Обозначения пояснены в решении.

Из подобия △BDM∼△MDC\triangle BDM\sim\triangle MDC получаем:

△BDM∼△MDC\triangle BDM\sim\triangle MDC
BDMD=MDDC\frac{BD}{MD}=\frac{MD}{DC}
BD⋅DC=MD2=81BD\cdot DC=MD^2=81
Чертёж к заданию ФИПИ 0BFE66. Обозначения пояснены в решении.

Так как AD⊥BCAD\perp BC и CH⊥ABCH\perp AB, треугольники BAD и HCD подобны по двум углам.

△BAD∼△HCD\triangle BAD\sim\triangle HCD
BDHD=ADCD\frac{BD}{HD}=\frac{AD}{CD}
DH=BD⋅DCAD=8181=1DH=\frac{BD\cdot DC}{AD}=\frac{81}{81}=1

Треугольник остроугольный, поэтому H находится внутри него на отрезке AD. Вычитаем DH из полной высоты AD.

AH=AD−DH=81−1=80AH=AD-DH=81-1=80

Ответ: 8080.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти AH.

Идея решения

Свяжем отрезки основания с высотой полуокружности, затем найдём положение точки пересечения высот.

Дано
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD=81 , MD=9 , H — точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH .
Найти
Найти AH.

Используем угол, опирающийся на диаметр

Угол BMC опирается на диаметр BC, поэтому он прямой. Отрезок MD перпендикулярен BC. В прямоугольном треугольнике BMC он является высотой к гипотенузе.

∠BMC\angle BMC=90∘=90^\circ
MD⊥BCMD\perp BC

Чертёж и обозначения

Полуокружность и точка пересечения высот. Чертёж к задаче ФИПИ 0BFE66.
Обозначения на чертеже
  • На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD=81 , MD=9 , H — точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH .
  • Вспомогательные отрезки показаны пунктиром. Чертёж можно открыть крупнее.
Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.
Открыть схему крупнее ↗

Выражаем произведение частей основания

Прямоугольные треугольники BDM и MDC подобны по двум углам. Отсюда квадрат высоты равен произведению частей гипотенузы.

△BDM∼△MDC\triangle BDM\sim\triangle MDC
BDMD\frac{BD}{MD}=MDDC=\frac{MD}{DC}
BDBD⋅DC\cdot DC=MD2=MD^2=81=81

Основание треугольника и полуокружность: увеличенный фрагмент

Основание треугольника и полуокружность: увеличенный фрагмент. Увеличенный фрагмент к задаче 0BFE66
Основание треугольника и полуокружность: увеличенный фрагмент
Открыть схему крупнее ↗

Связываем это произведение с положением H

Высоты AD и CH перпендикулярны BC и AB соответственно. Поэтому острые углы BAD и HCD равны, а углы BDA и HDC прямые. Треугольники BAD и HCD подобны.

△BAD∼△HCD\triangle BAD\sim\triangle HCD
BDHD\frac{BD}{HD}=ADCD=\frac{AD}{CD}
DHDH=BD⋅DCAD=\frac{BD\cdot DC}{AD}=8181=\frac{81}{81}=1=1

Находим искомую часть высоты

Треугольник остроугольный, поэтому H находится внутри него на отрезке AD. Вычитаем DH из полной высоты AD.

AHAH=AD=AD−DH-DH=81=81−1-1=80=80

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла
Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл
Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов
Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Используем угол, опирающийся на диаметр
  2. Выражаем произведение частей основания
  3. Связываем это произведение с положением H
  4. Находим искомую часть высоты
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
  • Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе удовлетворяет равенству h² = pq, где p и q — части гипотенузы.
  • В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • M лежит на полуокружности, а H — на пересечении высот: это разные точки.
  • После нахождения DH нужно вычислить AH = AD − DH.
Все задания №25 (152)