ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ E7B37225 из 152

Полуокружность и точка пересечения высот

На стороне $B C$ остроугольного треугольника $A B C$ как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $A D$ в точке $M$ , $A D = 90$ , $M D = 69$ , $H$ $—$ точка пересечения высот треугольника $A B C$ . Найдите $A H$ .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание E7B372.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Угол BMC прямой, так как опирается на диаметр BC. $MD\perp BC$ .

\angle BMC=90^\circ

MD\perp BC

$Чертёж к заданию ФИПИ E7B372. Обозначения пояснены в решении.$

Из подобия $\triangle BDM\sim\triangle MDC$ получаем:

\triangle BDM\sim\triangle MDC

\frac{BD}{MD}=\frac{MD}{DC}

BD\cdot DC=MD^2=4761

Так как $AD\perp BC$ и $CH\perp AB$ , треугольники BAD и HCD подобны по двум углам.

\triangle BAD\sim\triangle HCD

\frac{BD}{HD}=\frac{AD}{CD}

DH=\frac{BD\cdot DC}{AD}=\frac{4761}{90}=\frac{529}{10}

Треугольник остроугольный, поэтому H находится внутри него на отрезке AD. Вычитаем DH из полной высоты AD.

AH=AD-DH=90-\frac{529}{10}=\frac{371}{10}

Ответ: $\frac{371}{10}$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти AH.

Идея решения

Свяжем отрезки основания с высотой полуокружности, затем найдём положение точки пересечения высот.

Дано: На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M , AD=90 , MD=69 , H — точка пересечения высот треугольника ABC . Найдите AH .
Найти: Найти AH.

Используем угол, опирающийся на диаметр

Угол BMC опирается на диаметр BC, поэтому он прямой. Отрезок MD перпендикулярен BC. В прямоугольном треугольнике BMC он является высотой к гипотенузе.

\angle BMC

=90^\circ

MD\perp BC

Полуокружность и точка пересечения высот. Чертёж к задаче ФИПИ E7B372. — Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.

Выражаем произведение частей основания

Прямоугольные треугольники BDM и MDC подобны по двум углам. Отсюда квадрат высоты равен произведению частей гипотенузы.

\triangle BDM\sim\triangle MDC

\frac{BD}{MD}

=\frac{MD}{DC}

BD

\cdot DC

=MD^2

=4761

Связываем это произведение с положением H

Высоты AD и CH перпендикулярны BC и AB соответственно. Поэтому острые углы BAD и HCD равны, а углы BDA и HDC прямые. Треугольники BAD и HCD подобны.

\triangle BAD\sim\triangle HCD

\frac{BD}{HD}

=\frac{AD}{CD}

DH

=\frac{BD\cdot DC}{AD}

=\frac{4761}{90}

=\frac{529}{10}

Находим искомую часть высоты

Треугольник остроугольный, поэтому H находится внутри него на отрезке AD. Вычитаем DH из полной высоты AD.

AH

=AD

-DH

=90

-\frac{529}{10}

=\frac{371}{10}

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Обоснованы вспомогательные построения и все используемые геометрические соотношения.Проверены допустимые положения точек и окружностей; учтены все варианты из условия.Получен точный ответ без преждевременного округления, с пояснением, какая величина найдена.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Используем угол, опирающийся на диаметр
Выражаем произведение частей основания
Связываем это произведение с положением H
Находим искомую часть высоты

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Высота прямоугольного треугольника к гипотенузе удовлетворяет равенству h² = pq, где p и q — части гипотенузы.
В остроугольном треугольнике точка пересечения высот лежит внутри.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

M лежит на полуокружности, а H — на пересечении высот: это разные точки.
После нахождения DH нужно вычислить AH = AD − DH.

Все задания №25 (152)