ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ A79D2954 из 152

Окружность и прямоугольная трапеция

В трапеции $A B C D$ боковая сторона $A B$ перпендикулярна основанию $B C$ . Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $A B$ в точке $E$ . Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $C D$ , если $A D = 20$ , $B C = 10$ .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание A79D29.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Пусть O — центр окружности. Обозначим $P=AB\cap CD$ . Проведём $EQ\perp CD$ .

EQ\perp CD

$Чертёж к заданию ФИПИ A79D29. Обозначения пояснены в решении.$

Прямая AB касается окружности в E, а секущая PCD пересекает её в C и D. Произведение расстояний до двух точек пересечения равно квадрату касательной.

PE^2=PC\cdot PD

Из подобия $\triangle PBC\sim\triangle PAD$ и $\triangle PEQ\sim\triangle PDA$ получаем:

\frac{PC}{PD}=\frac{BC}{AD}=\frac{10}{20}

\frac{EQ}{AD}=\frac{PE}{PD}

Подставляя $PE^2=PC\cdot PD$ , получаем:

EQ^2=AD^2\cdot\frac{PE^2}{PD^2}=AD^2\cdot\frac{PC}{PD}

EQ^2=AD\cdot BC=20\cdot 10=200

EQ=10 \cdot \sqrt{2}

Оба допустимых положения окружности дают одно и то же расстояние EQ.

Ответ: $10 \cdot \sqrt{2}$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти расстояние от E до прямой CD.

Идея решения

Продлим боковые стороны до пересечения и применим теорему о касательной и секущей.

Дано: В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC . Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E . Найдите расстояние от точки E до прямой CD , если AD=20 , BC=10 .
Найти: Найти расстояние от E до прямой CD.

Вводим точку пересечения продолжений

Пусть O — центр окружности, P — пересечение прямых AB и CD, а Q — основание перпендикуляра из E на CD. Поскольку AD > BC, точка P лежит за B на продолжении AB. Отрезок EQ — искомое расстояние.

EQ\perp CD

Окружность и прямоугольная трапеция. Чертёж к задаче ФИПИ A79D29. — Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.

Применяем теорему о касательной и секущей

PE^2

=PC

\cdot PD

Используем подобие двух пар треугольников

Треугольники PBC и PAD подобны по двум углам, поскольку основания параллельны. Кроме того, прямоугольные треугольники PEQ и PDA подобны: их острый угол при P равен углу между прямыми AB и CD. Это верно и при расположении E по другую сторону от P.

\frac{PC}{PD}

=\frac{BC}{AD}

=\frac{10}{20}

\frac{EQ}{AD}

=\frac{PE}{PD}

Находим расстояние без неизвестной высоты трапеции

Возводим вторую пропорцию в квадрат и подставляем равенство для касательной. Неизвестные расстояния от P сокращаются.

EQ^2

=AD^2

\cdot\frac{PE^2}{PD^2}

=AD^2

\cdot\frac{PC}{PD}

EQ^2

=AD

\cdot BC

=20

\cdot 10

=200

EQ

=10

\cdot \sqrt{2}

Учитываем возможные окружности

Окружность может касаться прямой AB в разных точках, в том числе вне отрезка AB. Рассуждение использует расстояния и угол между прямыми и подходит к обоим расположениям. Искомое расстояние в обоих случаях одинаково.

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Обоснованы вспомогательные построения и все используемые геометрические соотношения.Проверены допустимые положения точек и окружностей; учтены все варианты из условия.Получен точный ответ без преждевременного округления, с пояснением, какая величина найдена.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Вводим точку пересечения продолжений
Применяем теорему о касательной и секущей
Используем подобие двух пар треугольников
Находим расстояние без неизвестной высоты трапеции
Учитываем возможные окружности

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Квадрат касательной равен произведению расстояний от внешней точки до двух точек пересечения секущей с окружностью.
Подобие позволяет связать расстояния до прямых без вычисления всех сторон фигуры.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Точка касания дана на прямой AB, поэтому не обязана находиться между A и B.
Искомое расстояние — длина перпендикуляра к прямой CD, а не длина EC или ED.

Все задания №25 (152)