Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ A5F365127 из 152

Перпендикуляр к радиусу и подобные треугольники

В треугольнике ABC  известны длины сторон AB=30 , AC=100 , точка O   —  центр окружности, описанной около треугольника ABC . Прямая BD , перпендикулярная прямой AO , пересекает сторону AC  в точке D .
Найдите CD .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание A5F365.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Проведём в точке A касательную AT к описанной окружности; луч AT направим параллельно лучу DB. Касательная перпендикулярна радиусу AO. По условию BD также перпендикулярна AO, значит, эти прямые параллельны.

AT⊥AOAT\perp AO
BD⊥AOBD\perp AO
AT∥BDAT\parallel BD
Чертёж к заданию ФИПИ A5F365. Обозначения пояснены в решении.

По теореме об угле между касательной и хордой и параллельности AT и BD:

∠ABD=∠ACB\angle ABD=\angle ACB
∠BAD=∠CAB\angle BAD=\angle CAB
△ABD∼△ACB\triangle ABD\sim\triangle ACB
Чертёж к заданию ФИПИ A5F365. Обозначения пояснены в решении.

В подобии сторона AB первого треугольника соответствует AC второго, а AD первого — AB второго. Записываем отношение соответствующих сторон.

ADAB=ABAC\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}
AD=AB2AC=302100=9AD=\frac{AB^2}{AC}=\frac{30^2}{100}=9

Точка D находится на стороне AC, поэтому CD = AC − AD.

CD=100−9=91CD=100-9=91

Ответ: 9191.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти отрезок CD.

Идея решения

Проведём касательную в A. Она параллельна BD, что позволит доказать подобие треугольников ABD и ACB.

Дано
В треугольнике ABC известны длины сторон AB=30 , AC=100 , точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC . Прямая BD , перпендикулярная прямой AO , пересекает сторону AC в точке D . Найдите CD .
Найти
Найти отрезок CD.

Проводим касательную

Проведём в точке A касательную AT к описанной окружности; луч AT направим параллельно лучу DB. Касательная перпендикулярна радиусу AO. По условию BD также перпендикулярна AO, значит, эти прямые параллельны.

AT⊥AOAT\perp AO
BD⊥AOBD\perp AO
AT∥BDAT\parallel BD

Чертёж и обозначения

Перпендикуляр к радиусу и подобные треугольники. Чертёж к задаче ФИПИ A5F365.
Обозначения на чертеже
  • В треугольнике ABC известны длины сторон AB=30 , AC=100 , точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC . Прямая BD , перпендикулярная прямой AO , пересекает сторону AC в точке D . Найдите CD .
  • Вспомогательные отрезки показаны пунктиром. Чертёж можно открыть крупнее.
Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.
Открыть схему крупнее ↗

Доказываем подобие

Угол BAT равен ABD из параллельности AT и BD. По теореме об угле между касательной и хордой угол BAT равен вписанному углу ACB, опирающемуся на хорду AB. Угол BAD совпадает с CAB, так как D лежит на AC. Поэтому треугольники ABD и ACB подобны по двум углам.

∠ABD\angle ABD=∠ACB=\angle ACB
∠BAD\angle BAD=∠CAB=\angle CAB
△ABD∼△ACB\triangle ABD\sim\triangle ACB

Треугольник ABD и касательная: увеличенный фрагмент

Треугольник ABD и касательная: увеличенный фрагмент. Увеличенный фрагмент к задаче A5F365
Треугольник ABD и касательная: увеличенный фрагмент
Открыть схему крупнее ↗

Вычисляем AD

В подобии сторона AB первого треугольника соответствует AC второго, а AD первого — AB второго. Записываем отношение соответствующих сторон.

ADAB\frac{AD}{AB}=ABAC=\frac{AB}{AC}
ADAD=AB2AC=\frac{AB^2}{AC}=302100=\frac{30^2}{100}=9=9

Находим оставшуюся часть стороны

Точка D находится на стороне AC, поэтому CD = AC − AD.

CDCD=100=100−9-9=91=91

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла
Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл
Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов
Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Проводим касательную
  2. Доказываем подобие
  3. Вычисляем AD
  4. Находим оставшуюся часть стороны
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
  • Угол между касательной и хордой равен соответствующему вписанному углу.
  • Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • В подобии ABD и ACB важно сохранить порядок соответствующих вершин.
  • После вычисления AD не забудьте вычесть его из AC: требуется CD.
Все задания №25 (152)