Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ AE4891104 из 152

Основания трапеции и отрезки между серединами

Углы при одном из оснований трапеции равны 50°  и 40° , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13. Найдите основания трапеции.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание AE4891.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Пусть AD = a > BC = b. Продлим боковые стороны до P. Тогда:

∠APD=180∘−50∘−40∘=90∘\angle APD=180^\circ-50^\circ-40^\circ=90^\circ
Чертёж к заданию ФИПИ AE4891. Обозначения пояснены в решении.

Пусть E и F — середины боковых сторон AB и CD. Отрезок EF — средняя линия трапеции.

EF=a+b2EF=\frac{a+b}{2}

M и N — середины AD и BC соответственно; P, N, M лежат на одной прямой. Медианы к гипотенузам дают:

PM=a2,PN=b2PM=\frac a2,\quad PN=\frac b2
MN=PM−PN=a−b2MN=PM-PN=\frac{a-b}{2}
Чертёж к заданию ФИПИ AE4891. Обозначения пояснены в решении.

Полусумма положительных оснований больше их полуразности. Значит, больший данный отрезок — EF, меньший — MN.

a+b2=15\frac{a+b}{2}=15
a−b2=13\frac{a-b}{2}=13

Сложим два последних равенства, затем вычтем второе из первого. Получим оба положительных основания.

a=15+13=28a=15+13=28
b=15−13=2b=15-13=2

Ответ: 28; 228;\ 2; .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти оба основания трапеции.

Идея решения

Средняя линия даёт полусумму оснований, а второй отрезок — их полуразность.

Дано
Углы при одном из оснований трапеции равны 50° и 40° , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13. Найдите основания трапеции.
Найти
Найти оба основания трапеции.

Продлеваем боковые стороны

Назовём основания AD = a и BC = b, где a > b. Продлим боковые стороны до пересечения в P. Сумма углов при AD равна 90°, поэтому угол APD прямой. Треугольники PBC и PAD подобны.

∠APD\angle APD=180∘=180^\circ−50∘-50^\circ−40∘-40^\circ=90∘=90^\circ

Чертёж и обозначения

Основания трапеции и отрезки между серединами. Чертёж к задаче ФИПИ AE4891.
Обозначения на чертеже
  • Углы при одном из оснований трапеции равны 50° и 40° , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 15 и 13. Найдите основания трапеции.
  • Вспомогательные отрезки показаны пунктиром. Чертёж можно открыть крупнее.
Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.
Открыть схему крупнее ↗

Находим полусумму оснований

Пусть E и F — середины боковых сторон AB и CD. Отрезок EF — средняя линия трапеции.

EFEF=a+b2=\frac{a+b}{2}

Находим полуразность оснований

Пусть M и N — середины оснований AD и BC. По подобию треугольников PBC и PAD точки P, N, M лежат на одной прямой. В каждом прямоугольном треугольнике медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Поэтому PM = a / 2, PN = b / 2.

PMPM=a2,PN=\frac a2,\quad PN=b2=\frac b2
MNMN=PM=PM−PN-PN=a−b2=\frac{a-b}{2}

Меньший прямоугольный треугольник PBC: увеличенный фрагмент

Меньший прямоугольный треугольник PBC: увеличенный фрагмент. Увеличенный фрагмент к задаче AE4891
Меньший прямоугольный треугольник PBC: увеличенный фрагмент
Открыть схему крупнее ↗

Определяем, какой из двух отрезков длиннее

Полусумма положительных оснований больше их полуразности. Значит, больший данный отрезок — EF, меньший — MN.

a+b2\frac{a+b}{2}=15=15
a−b2\frac{a-b}{2}=13=13

Находим основания сложением и вычитанием

Сложим два последних равенства, затем вычтем второе из первого. Получим оба положительных основания.

aa=15=15+13+13=28=28
bb=15=15−13-13=2=2

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла
Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл
Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов
Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Продлеваем боковые стороны
  2. Находим полусумму оснований
  3. Находим полуразность оснований
  4. Определяем, какой из двух отрезков длиннее
  5. Находим основания сложением и вычитанием
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
  • Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе равна половине гипотенузы.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Отрезок между серединами оснований не является средней линией трапеции.
  • Сначала установите, какой из двух данных отрезков является большим; произвольная перестановка даст неверное основание.
Все задания №25 (152)