Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ 6EF2E3118 из 152

Окружность через вершины трапеции и касание прямой

В трапеции ABCD  основания AD  и BC  равны соответственно 28 и 4,
а сумма углов при основании AD  равна 90° . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A  и B  и касающейся прямой CD , если AB=15 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 6EF2E3.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Пусть P — пересечение продолжений AB и CD. Сумма углов при основании AD равна 90°, значит, в треугольнике PAD угол P прямой. Основания BC и AD параллельны, поэтому треугольники PBC и PAD подобны.

∠APD=180∘−90∘=90∘\angle APD=180^\circ-90^\circ=90^\circ
△PBC∼△PAD\triangle PBC\sim\triangle PAD
Чертёж к заданию ФИПИ 6EF2E3. Обозначения пояснены в решении.

Из подобия PB : PA = BC : AD. Точка B лежит между P и A, поэтому PA − PB = AB. Подставляем первое соотношение во второе.

PBPA=428\frac{PB}{PA}=\frac{4}{28}
PA−PB=15PA-PB=15
PA=15⋅2828−4=352PA=\frac{15\cdot 28}{28-4}=\frac{35}{2}
PB=PA−AB=52PB=PA-AB=\frac{5}{2}

Пусть X — середина AB, O — центр, T — точка касания прямой PD. OX ⟂ AB, OT ⟂ PD, поэтому PXOT — прямоугольник.

R=OT=PXR=OT=PX
PX=PB+BX=PA+PB2PX=PB+BX=\frac{PA+PB}{2}

Оба положения окружности относительно AB дают один и тот же радиус.

R=352+522=10R=\frac{\frac{35}{2}+\frac{5}{2}}{2}=10

Ответ: 1010.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти радиус окружности.

Идея решения

Продлим боковые стороны до пересечения. Получится прямой угол, а радиус выразится через середину отрезка AB.

Дано
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 28 и 4, а сумма углов при основании AD равна 90° . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD , если AB=15 .
Найти
Найти радиус окружности.

Получаем прямоугольный треугольник

Пусть P — пересечение продолжений AB и CD. Сумма углов при основании AD равна 90°, значит, в треугольнике PAD угол P прямой. Основания BC и AD параллельны, поэтому треугольники PBC и PAD подобны.

∠APD\angle APD=180∘=180^\circ−90∘-90^\circ=90∘=90^\circ
△PBC∼△PAD\triangle PBC\sim\triangle PAD

Чертёж и обозначения

Окружность через вершины трапеции и касание прямой. Чертёж к задаче ФИПИ 6EF2E3.
Обозначения на чертеже
  • В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 28 и 4, а сумма углов при основании AD равна 90° . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD , если AB=15 .
  • Вспомогательные отрезки показаны пунктиром. Чертёж можно открыть крупнее.
Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.
Открыть схему крупнее ↗

Находим расстояния от P до A и B

Из подобия PB : PA = BC : AD. Точка B лежит между P и A, поэтому PA − PB = AB. Подставляем первое соотношение во второе.

PBPA\frac{PB}{PA}=428=\frac{4}{28}
PAPA−PB-PB=15=15
PAPA=15⋅2828−4=\frac{15\cdot 28}{28-4}=352=\frac{35}{2}
PBPB=PA=PA−AB-AB=52=\frac{5}{2}

Связываем радиус с серединой AB

Пусть O — центр окружности, X — середина хорды AB, T — точка касания прямой PD. Тогда OX ⟂ AB и OT ⟂ PD. Поскольку AB ⟂ PD, четырёхугольник PXOT — прямоугольник. Следовательно, радиус OT равен PX.

RR=OT=OT=PX=PX
PXPX=PB=PB+BX+BX=PA+PB2=\frac{PA+PB}{2}

Вычисляем радиус и учитываем оба положения

Подставляем найденные длины. Центр окружности может находиться с любой стороны от прямой AB: при отражении относительно AB радиус и касание прямой CD сохраняются. В обоих случаях ответ одинаковый.

RR=352+522=\frac{\frac{35}{2}+\frac{5}{2}}{2}=10=10

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла
Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл
Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов
Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Получаем прямоугольный треугольник
  2. Находим расстояния от P до A и B
  3. Связываем радиус с серединой AB
  4. Вычисляем радиус и учитываем оба положения
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Если сумма двух углов треугольника равна 90°, третий угол прямой.
  • Перпендикуляр из центра окружности к хорде проходит через её середину.
  • Расстояние от центра до касательной равно радиусу.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Окружность касается прямой CD, поэтому точка касания не обязана лежать на отрезке CD.
  • Не используйте AB / 2 вместо радиуса: середина AB находится на расстоянии PX от прямой CD.
Все задания №25 (152)