ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ F69982142 из 152

Перпендикуляр к радиусу и подобные треугольники

В треугольнике $A B C$ известны длины сторон $A B = 28$ , $A C = 56$ , точка $O$ $—$ центр окружности, описанной около треугольника $A B C$ . Прямая $B D$ , перпендикулярная прямой $A O$ , пересекает сторону $A C$ в точке $D$ .
Найдите $C D$ .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание F69982.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Проведём в точке A касательную AT к описанной окружности; луч AT направим параллельно лучу DB. Касательная перпендикулярна радиусу AO. По условию BD также перпендикулярна AO, значит, эти прямые параллельны.

AT\perp AO

BD\perp AO

AT\parallel BD

$Чертёж к заданию ФИПИ F69982. Обозначения пояснены в решении.$

По теореме об угле между касательной и хордой и параллельности AT и BD:

\angle ABD=\angle ACB

\angle BAD=\angle CAB

\triangle ABD\sim\triangle ACB

В подобии сторона AB первого треугольника соответствует AC второго, а AD первого — AB второго. Записываем отношение соответствующих сторон.

\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}

AD=\frac{AB^2}{AC}=\frac{28^2}{56}=14

Точка D находится на стороне AC, поэтому CD = AC − AD.

CD=56-14=42

Ответ: $42$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти отрезок CD.

Идея решения

Проведём касательную в A. Она параллельна BD, что позволит доказать подобие треугольников ABD и ACB.

Дано: В треугольнике ABC известны длины сторон AB=28 , AC=56 , точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC . Прямая BD , перпендикулярная прямой AO , пересекает сторону AC в точке D . Найдите CD .
Найти: Найти отрезок CD.

Проводим касательную

AT\perp AO

BD\perp AO

AT\parallel BD

Перпендикуляр к радиусу и подобные треугольники. Чертёж к задаче ФИПИ F69982. — Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.

Доказываем подобие

Угол BAT равен ABD из параллельности AT и BD. По теореме об угле между касательной и хордой угол BAT равен вписанному углу ACB, опирающемуся на хорду AB. Угол BAD совпадает с CAB, так как D лежит на AC. Поэтому треугольники ABD и ACB подобны по двум углам.

\angle ABD

=\angle ACB

\angle BAD

=\angle CAB

\triangle ABD\sim\triangle ACB

Вычисляем AD

\frac{AD}{AB}

=\frac{AB}{AC}

AD

=\frac{AB^2}{AC}

=\frac{28^2}{56}

=14

Находим оставшуюся часть стороны

Точка D находится на стороне AC, поэтому CD = AC − AD.

CD

=56

-14

=42

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Обоснованы вспомогательные построения и все используемые геометрические соотношения.Проверены допустимые положения точек и окружностей; учтены все варианты из условия.Получен точный ответ без преждевременного округления, с пояснением, какая величина найдена.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Проводим касательную
Доказываем подобие
Вычисляем AD
Находим оставшуюся часть стороны

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
Угол между касательной и хордой равен соответствующему вписанному углу.
Соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

В подобии ABD и ACB важно сохранить порядок соответствующих вершин.
После вычисления AD не забудьте вычесть его из AC: требуется CD.

Все задания №25 (152)