ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ C4C61145 из 152

Биссектриса, высота и радиус окружности

В треугольнике $A B C$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую
из вершины $B$ , в отношении $41 : 40$ , считая от точки $B$ . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $A B C$ , если $B C = 18$ .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание C4C611.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Пусть $BD\perp AC$ , E — пересечение BD с биссектрисой угла A. По условию:

BE:ED=41:40

$Чертёж к заданию ФИПИ C4C611. Обозначения пояснены в решении.$

В прямоугольном треугольнике ABD отрезок AE также является биссектрисой угла A. Она делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.

\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{ED}=\frac{41}{40}

\cos\angle A=\frac{AD}{AB}=\frac{40}{41}

Угол A острый, поэтому его синус положителен. Используем основное тригонометрическое тождество.

\sin\angle A=\sqrt{1-\cos^2\angle A}=\sqrt{1-(\frac{40}{41})^2}=\frac{9}{41}

Сторона BC лежит напротив угла A. По расширенной теореме синусов BC / sin A = 2R.

R=\frac{BC}{2\sin\angle A}=\frac{18}{2\cdot (\frac{9}{41})}=41

Ответ: $41$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти радиус описанной окружности.

Идея решения

Из отношения отрезков высоты найдём косинус угла A, затем применим расширенную теорему синусов.

Дано: В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B , в отношении 41:40 , считая от точки B . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если BC=18 .
Найти: Найти радиус описанной окружности.

Вводим точки на высоте

Пусть BD — высота из B к прямой AC, а E — её пересечение с биссектрисой угла A. Отношение отсчитывается от B, поэтому BE : ED = 41 : 40. Основание D лежит на луче AC: иначе внутренняя биссектриса A не могла бы пересечь отрезок BD.

BE:ED

=41:40

Биссектриса, высота и радиус окружности. Чертёж к задаче ФИПИ C4C611. — Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.

Применяем свойство биссектрисы

\frac{AB}{AD}

=\frac{BE}{ED}

=\frac{41}{40}

\cos\angle A

=\frac{AD}{AB}

=\frac{40}{41}

Вычисляем синус угла

Угол A острый, поэтому его синус положителен. Используем основное тригонометрическое тождество.

\sin\angle A

=\sqrt{1-\cos^2\angle A}

=\sqrt{1-(\frac{40}{41})^2}

=\frac{9}{41}

Находим радиус

Сторона BC лежит напротив угла A. По расширенной теореме синусов BC / sin A = 2R.

R

=\frac{BC}{2\sin\angle A}

=\frac{18}{2\cdot (\frac{9}{41})}

=41

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Обоснованы вспомогательные построения и все используемые геометрические соотношения.Проверены допустимые положения точек и окружностей; учтены все варианты из условия.Получен точный ответ без преждевременного округления, с пояснением, какая величина найдена.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Вводим точки на высоте
Применяем свойство биссектрисы
Вычисляем синус угла
Находим радиус

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон.
Для острого угла синус положителен, а сумма квадратов синуса и косинуса равна 1.
Сторона треугольника, делённая на синус противолежащего угла, равна диаметру описанной окружности.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

В отношении «считая от B» первым стоит BE, а вторым ED.
Расширенная теорема синусов даёт 2R, поэтому для радиуса нужно разделить на 2.

Все задания №25 (152)