ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ A7594E4 из 152

Площадь параллелограмма через биссектрисы

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $A B C D$ пересекаются в точке $K$ . Найдите площадь параллелограмма, если $B C = 2$ , а расстояние от точки $K$ до стороны $A B$ равно 1.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание A7594E.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Проведём перпендикуляры KP, KQ, KT из K к AB, AD, BC соответственно. По свойству точки на биссектрисе:

KP=KQ=KT=1

$Чертёж к заданию ФИПИ A7594E. Обозначения пояснены в решении.$

K равноудалена от параллельных AD и BC, поэтому находится на средней параллели между ними.

h=KQ+KT=2\cdot 1=2

Берём основание BC и найденную высоту к нему. Положение K относительно другой пары сторон не влияет на расчёт.

S=BC\cdot h=2\cdot 2=4

Ответ: $4$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти площадь ABCD.

Идея решения

Точка пересечения биссектрис равноудалена от трёх прямых; это позволяет найти высоту параллелограмма.

Дано: Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K . Найдите площадь параллелограмма, если BC=2 , а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.
Найти: Найти площадь ABCD.

Переносим данное расстояние на две другие прямые

Опустим из K перпендикуляры KP, KQ, KT на AB, AD и BC. Точка K лежит на биссектрисе угла A, значит, её расстояния до AB и AD равны. Из биссектрисы угла B получаем равенство расстояний до AB и BC.

KP

=KQ

=KT

=1

Площадь параллелограмма через биссектрисы. Чертёж к задаче ФИПИ A7594E. — Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.

Находим высоту между параллельными прямыми

Прямые AD и BC параллельны. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух параллельных прямых, — прямая посередине между ними. Поэтому K находится между этими прямыми, а высота равна сумме KQ и KT.

h

=KQ

+KT

=2

\cdot 1

=2

Вычисляем площадь

Берём основание BC и найденную высоту к нему. Положение K относительно другой пары сторон не влияет на расчёт.

S

=BC

\cdot h

=2

\cdot 2

=4

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Обоснованы вспомогательные построения и все используемые геометрические соотношения.Проверены допустимые положения точек и окружностей; учтены все варианты из условия.Получен точный ответ без преждевременного округления, с пояснением, какая величина найдена.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Переносим данное расстояние на две другие прямые
Находим высоту между параллельными прямыми
Вычисляем площадь

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Точка на биссектрисе угла равноудалена от прямых, содержащих его стороны.
Площадь параллелограмма — произведение основания на соответствующую высоту.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Данное расстояние составляет половину высоты к BC, а не всю высоту.
Точка K не обязательно лежит внутри параллелограмма. Перпендикуляры к основаниям могут попадать на их продолжения.

Все задания №25 (152)