Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ 994A4D6 из 152

Равные перпендикулярные медиана и биссектриса

В треугольнике ABC  биссектриса BE  и медиана AD  перпендикулярны
и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника ABC .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 994A4D.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Пусть O=AD∩BEO=AD\cap BE. Прямоугольные треугольники ABO и DBO равны по катету BO и прилежащему острому углу.

AO=OD=402=20AO=OD=\frac{40}{2}=20
AB=BDAB=BD
Чертёж к заданию ФИПИ 994A4D. Обозначения пояснены в решении.

Поскольку AD — медиана, BD = DC. Вместе с AB = BD получаем BC = 2AB. Биссектриса BE делит AC в отношении AB : BC = 1 : 2.

BC=2ABBC=2AB
AEEC=ABBC=12\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac12
AC=3AEAC=3AE

Проведём DF∥BEDF\parallel BE, F∈ACF\in AC. Средние линии в треугольниках CBE и ADF дают:

DF=402=20DF=\frac{40}{2}=20
OE=404=10OE=\frac{40}{4}=10
BO=3⋅404=30BO=\frac{3\cdot 40}{4}=30

В прямоугольном треугольнике ABO известны оба катета. По теореме Пифагора находим AB, затем удваиваем его для BC.

AB=(20)2+(30)2=10⋅13AB=\sqrt{(20)^2+(30)^2}=10 \cdot \sqrt{13}
BC=2AB=20⋅13BC=2AB=20 \cdot \sqrt{13}

В прямоугольном треугольнике AOE находим AE. Вся сторона AC втрое больше AE.

AE=(20)2+(10)2=10⋅5AE=\sqrt{(20)^2+(10)^2}=10 \cdot \sqrt{5}
AC=3AE=30⋅5AC=3AE=30 \cdot \sqrt{5}

Ответ: AB=10⋅13; BC=20⋅13; AC=30⋅5AB=10 \cdot \sqrt{13};\ BC=20 \cdot \sqrt{13};\ AC=30 \cdot \sqrt{5}; ; .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти стороны AB, BC и AC.

Идея решения

Равенство двух прямоугольных треугольников даст соотношения сторон, а средние линии помогут разделить биссектрису на части.

Дано
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника ABC .
Найти
Найти стороны AB, BC и AC.

Доказываем равенство прямоугольных треугольников

Пусть O — пересечение AD и BE. Треугольники ABO и DBO равны по общей стороне BO и двум прилежащим углам: углы при O прямые, углы при B равны, так как BE — биссектриса. Поэтому AO = OD и AB = BD.

AOAO=OD=OD=402=\frac{40}{2}=20=20
ABAB=BD=BD

Чертёж и обозначения

Равные перпендикулярные медиана и биссектриса. Чертёж к задаче ФИПИ 994A4D.
Обозначения на чертеже
  • В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника ABC .
  • Вспомогательные отрезки показаны пунктиром. Чертёж можно открыть крупнее.
Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.
Открыть схему крупнее ↗

Применяем свойства медианы и биссектрисы

Поскольку AD — медиана, BD = DC. Вместе с AB = BD получаем BC = 2AB. Биссектриса BE делит AC в отношении AB : BC = 1 : 2.

BCBC=2AB=2AB
AEEC\frac{AE}{EC}=ABBC=\frac{AB}{BC}=12=\frac12
ACAC=3AE=3AE

Находим части биссектрисы

Через D проведём DF параллельно BE, где F лежит на AC. В треугольнике CBE отрезок DF — средняя линия, поэтому DF = BE / 2. В треугольнике ADF точка O — середина AD, а OE параллелен DF, значит, OE = DF / 2. Отсюда OE = BE / 4, BO = 3BE / 4.

DFDF=402=\frac{40}{2}=20=20
OEOE=404=\frac{40}{4}=10=10
BOBO=3⋅404=\frac{3\cdot 40}{4}=30=30

Находим первые две стороны

В прямоугольном треугольнике ABO известны оба катета. По теореме Пифагора находим AB, затем удваиваем его для BC.

ABAB=(20)2+(30)2=\sqrt{(20)^2+(30)^2}=10=10 ⋅13\cdot \sqrt{13}
BCBC=2AB=2AB=20=20 ⋅13\cdot \sqrt{13}

Находим третью сторону

В прямоугольном треугольнике AOE находим AE. Вся сторона AC втрое больше AE.

AEAE=(20)2+(10)2=\sqrt{(20)^2+(10)^2}=10=10 ⋅5\cdot \sqrt{5}
ACAC=3AE=3AE=30=30 ⋅5\cdot \sqrt{5}

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла
Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл
Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов
Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Доказываем равенство прямоугольных треугольников
  2. Применяем свойства медианы и биссектрисы
  3. Находим части биссектрисы
  4. Находим первые две стороны
  5. Находим третью сторону
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.
  • Медиана делит сторону пополам; биссектриса делит её пропорционально прилежащим сторонам.
  • Средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Пересечение медианы с биссектрисой не является автоматически центром тяжести. Здесь отношение нужно доказать.
  • В ответе подпишите, какой стороне соответствует каждый корень.
Все задания №25 (152)