ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ 9FFCAD87 из 152

Вписанная окружность и диагонали трапеции

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь
равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 9FFCAD.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Пусть AD = a, BC = b, AB = CD = l. По свойству описанного четырёхугольника:

a+b=2l

l=\frac{20}{4}=5

a+b=10

$Чертёж к заданию ФИПИ 9FFCAD. Обозначения пояснены в решении.$

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому высота равна площади, делённой на боковую сторону l.

S=\frac{a+b}{2}h=lh

h=\frac{20}{5}=4

Проведём $BH\perp AD$ . Тогда $AH=\frac{a-b}{2}$ .

AH=\sqrt{5^2-4^2}=3

a-b=2AH=6

a=8,\quad b=2

Пусть $O=AC\cap BD$ , $OQ\perp BC$ , OQ = t. Из подобия $\triangle BOC\sim\triangle DOA$ :

\frac{t}{h-t}=\frac{b}{a}

t=\frac{bh}{a+b}

t=\frac{2\cdot 4}{10}=\frac{4}{5}

Ответ: $\frac{4}{5}$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти расстояние от пересечения диагоналей до меньшего основания.

Идея решения

Сначала восстановим основания и высоту, затем используем подобие треугольников у пересечения диагоналей.

Дано: В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Найти: Найти расстояние от пересечения диагоналей до меньшего основания.

Используем условие о вписанной окружности

Обозначим большее основание AD через a, меньшее BC — через b, боковую сторону — через l. В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны. Поэтому a + b = 2l. Периметр равен 4l.

a

+b

=2l

l

=\frac{20}{4}

=5

a

+b

=10

Вписанная окружность и диагонали трапеции. Чертёж к задаче ФИПИ 9FFCAD. — Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.

Находим высоту

S

=\frac{a+b}{2}h

=lh

h

=\frac{20}{5}

=4

Находим основания

Опустим из B высоту BH на AD. У равнобедренной трапеции отрезок AH равен половине разности оснований. По теореме Пифагора в ABH:

AH

=\sqrt{5^2-4^2}

=3

a

-b

=2AH

=6

a

=8,\quad b

=2

Используем подобие у диагоналей

Пусть O — точка пересечения диагоналей, OQ — расстояние до BC. Треугольники BOC и DOA подобны: углы при O вертикальные, а ещё по паре углов равны из параллельности оснований. Их высоты относятся как основания. Если OQ = t, расстояние до AD равно h − t.

\frac{t}{h-t}

=\frac{b}{a}

t

=\frac{bh}{a+b}

t

=\frac{2\cdot 4}{10}

=\frac{4}{5}

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Обоснованы вспомогательные построения и все используемые геометрические соотношения.Проверены допустимые положения точек и окружностей; учтены все варианты из условия.Получен точный ответ без преждевременного округления, с пояснением, какая величина найдена.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Используем условие о вписанной окружности
Находим высоту
Находим основания
Используем подобие у диагоналей

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

В четырёхугольнике с вписанной окружностью суммы противоположных сторон равны.
В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна половине разности оснований.
У подобных треугольников соответствующие высоты относятся как соответствующие стороны.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Расстояние от пересечения диагоналей до меньшего основания меньше расстояния до большего.
Не подменяйте точку пересечения диагоналей центром вписанной окружности.

Все задания №25 (152)