ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ FB531E37 из 152

Общие касательные двух касающихся окружностей

Окружности радиусов 33 и 99 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ $—$ на второй. При этом $A C$
и $B D$ $—$ общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $A B$ и $C D$ .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание FB531E.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей радиусов r и R, r < R. M и N — середины хорд AB и CD. По симметрии касательных хорды перпендикулярны линии центров.

O_1O_2=r+R=132

AB\perp O_1O_2

CD\perp O_1O_2

$Чертёж к заданию ФИПИ FB531E. Обозначения пояснены в решении.$

Радиусы к точкам касания параллельны. Выберем $F\in O_2C$ так, что $O_2F=R-r$ . Тогда $O_1F\perp O_2F$ .

O_2F=R-r=66

\cos\angle FO_2O_1=\frac{R-r}{R+r}=\frac{1}{2}

По косинусу найденного угла:

O_1M=r\cdot \frac{R-r}{R+r}=\frac{33}{2}

O_2N=R\cdot \frac{R-r}{R+r}=\frac{99}{2}

При r < R точка M лежит за $O_1$ со стороны, противоположной $O_2$ , а N находится между центрами. Поэтому MN равно расстоянию между центрами плюс первая проекция минус вторая. Так как AB и CD перпендикулярны линии центров, MN и есть расстояние между этими прямыми.

MN=O_1O_2+O_1M-O_2N

MN=132+\frac{33}{2}-\frac{99}{2}=99

Ответ: $99$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти расстояние между прямыми AB и CD.

Идея решения

Используем симметрию общих касательных и проекции радиусов на линию центров.

Дано: Окружности радиусов 33 и 99 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD .
Найти: Найти расстояние между прямыми AB и CD.

Проводим линию центров

Пусть центры окружностей — $O_1$ и $O_2$ , а их радиусы r и R, где r < R. При внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов. Отражение относительно линии центров меняет местами две общие внешние касательные, поэтому A и B, а также C и D симметричны. Хорды AB и CD перпендикулярны линии центров; их середины обозначим M и N.

O_1O_2

=r

+R

=132

AB\perp O_1O_2

CD\perp O_1O_2

Общие касательные двух касающихся окружностей. Чертёж к задаче ФИПИ FB531E. — Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.

Строим вспомогательный прямоугольный треугольник

Радиусы $O_1A$ и $O_2C$ параллельны, так как перпендикулярны AC. На радиусе $O_2C$ отметим F так, чтобы $O_2F=R-r$ . Тогда $O_1F\parallel AC$ и $O_1F\perp O_2F$ . В прямоугольном треугольнике $O_1FO_2$ находим косинус угла при $O_2$ .

O_2F

=R

-r

=66

\cos\angle FO_2O_1

=\frac{R-r}{R+r}

=\frac{1}{2}

Находим проекции радиусов

Отрезки $O_1M$ и $O_2N$ — проекции соответствующих радиусов на линию центров. Угол с направлением к меньшей окружности тот же, что найден в предыдущем шаге.

O_1M

=r

\cdot \frac{R-r}{R+r}

=\frac{33}{2}

O_2N

=R

\cdot \frac{R-r}{R+r}

=\frac{99}{2}

Вычисляем расстояние между хордами

MN

=O_1O_2

+O_1M

-O_2N

MN

=132

+\frac{33}{2}

-\frac{99}{2}

=99

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Обоснованы вспомогательные построения и все используемые геометрические соотношения.Проверены допустимые положения точек и окружностей; учтены все варианты из условия.Получен точный ответ без преждевременного округления, с пояснением, какая величина найдена.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Проводим линию центров
Строим вспомогательный прямоугольный треугольник
Находим проекции радиусов
Вычисляем расстояние между хордами

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

При внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов.
Радиусы к точкам касания перпендикулярны общей касательной.
Проекция отрезка на прямую равна его длине, умноженной на косинус угла с этой прямой.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Расстояние между прямыми AB и CD не равно расстоянию между центрами.
Учитывайте, с какой стороны от центра расположена середина каждой хорды: одна проекция прибавляется, другая вычитается.

Все задания №25 (152)