Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ 973563130 из 152

Окружность через две точки, касающаяся луча

Точки M  и N  лежат на стороне AC  треугольника ABC  на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A . Найдите радиус окружности, проходящей через точки M  и N  и касающейся луча AB , если cos∠BAC= 7 4 .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 973563.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Пусть T — точка касания, O — центр, R — радиус. По теореме о касательной и секущей:

AT2=24⋅42=1008AT^2=24\cdot 42=1008
AT=12⋅7AT=12 \cdot \sqrt{7}
Чертёж к заданию ФИПИ 973563. Обозначения пояснены в решении.

Угол BAC острый, поскольку его косинус положителен. Поэтому синус берём с положительным знаком.

sin⁡∠BAC=1−(74)2=34\sin\angle BAC=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2}=\frac{3}{4}

Направим ось x вдоль AB, а треугольник расположим над ней. Тогда:

A=(0;0)A=(0;0)
T=(12⋅7;0)T=(12 \cdot \sqrt{7};0)
O=(12⋅7;R)O=(12 \cdot \sqrt{7};R)
M=(6⋅7;18)M=(6 \cdot \sqrt{7};18)

Из OM = R получаем:

(6⋅7−12⋅7)2+(18−R)2=R2\left(6 \cdot \sqrt{7}-12 \cdot \sqrt{7}\right)^2+\left(18-R\right)^2=R^2
576−2⋅24⋅12⋅7⋅74+1008=2⋅24⋅34⋅R576-2\cdot 24\cdot 12 \cdot \sqrt{7}\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}+1008=2\cdot 24\cdot \frac{3}{4}\cdot R

Радиус положителен. Точка T лежит на луче AB, как требует условие.

R=24+42−2⋅12⋅7⋅742⋅34=16R=\frac{24+42-2\cdot 12 \cdot \sqrt{7}\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}}{2\cdot \frac{3}{4}}=16

Ответ: 1616.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти радиус окружности.

Идея решения

Сначала найдём точку касания по теореме о касательной и секущей, затем воспользуемся координатами и равенством радиусов.

Расстояния
AM=24, AN=42AM=24,\ AN=42
Угол
cos⁡∠BAC=74\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{7}}{4}
Касание
Окружность проходит через M и N и касается именно луча AB.
Найти
Найти радиус окружности.

Находим расстояние до точки касания

Обозначим точку касания T, центр окружности O, радиус R. Так как M и N лежат на одном луче из A, а A находится вне окружности, по теореме о касательной и секущей AT² = AM · AN. Длина AT положительна.

AT2AT^2=24=24⋅42\cdot 42=1008=1008
ATAT=12=12 ⋅7\cdot \sqrt{7}

Чертёж и обозначения

Окружность через две точки, касающаяся луча. Чертёж к задаче ФИПИ 973563.
Обозначения на чертеже
  • AM=24, AN=42AM=24,\ AN=42
  • cos⁡∠BAC=74\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{7}}{4}
  • Окружность проходит через M и N и касается именно луча AB.
  • Вспомогательные отрезки показаны пунктиром. Чертёж можно открыть крупнее.
Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.
Открыть схему крупнее ↗

Вычисляем синус угла

Угол BAC острый, поскольку его косинус положителен. Поэтому синус берём с положительным знаком.

sin⁡∠BAC\sin\angle BAC=1−(74)2=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2}=34=\frac{3}{4}

Вводим координаты

Начало координат поместим в A, положительную полуось x направим вдоль луча AB, а треугольник расположим над ней. Тогда координаты M равны AM cos A и AM sin A. Радиус OT перпендикулярен AB. Окружность находится над AB, так как содержит M и N, поэтому ордината O равна положительному R.

AA=(0;0)=(0;0)
TT=(12⋅7;0)=(12 \cdot \sqrt{7};0)
OO=(12⋅7;R)=(12 \cdot \sqrt{7};R)
MM=(6⋅7;18)=(6 \cdot \sqrt{7};18)

Используем равенство OM = R

Квадрат расстояния между O и M равен R². Раскрываем скобки и сокращаем R². Квадраты двух координат M в сумме равны AM², а AT² = AM · AN.

(6⋅7−12⋅7)2\left(6 \cdot \sqrt{7}-12 \cdot \sqrt{7}\right)^2+(18−R)2+\left(18-R\right)^2=R2=R^2
576576−2-2⋅24\cdot 24⋅12\cdot 12 ⋅7\cdot \sqrt{7}⋅74\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}+1008+1008=2=2⋅24\cdot 24⋅34\cdot \frac{3}{4}⋅R\cdot R

Находим радиус и учитываем условие о луче

Делим равенство на 2 AM sin A. Точка T выбрана на положительной полуоси x, то есть на нужном луче AB. Отрицательная абсцисса точки касания дала бы касание противоположного луча и условию не соответствовала бы.

RR=24+42−2⋅12⋅7⋅742⋅34=\frac{24+42-2\cdot 12 \cdot \sqrt{7}\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}}{2\cdot \frac{3}{4}}=16=16

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла
Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл
Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов
Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Находим расстояние до точки касания
  2. Вычисляем синус угла
  3. Вводим координаты
  4. Используем равенство OM = R
  5. Находим радиус и учитываем условие о луче
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Квадрат длины касательной равен произведению длин секущей и её внешней части.
  • Радиус к точке касания перпендикулярен касательной.
  • Квадрат расстояния между точками равен сумме квадратов разностей их координат.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • Не заменяйте луч AB всей прямой: точка касания должна находиться по нужную сторону от A.
  • Из равенства sin² A = 1 − cos² A выбирайте положительный синус угла треугольника.
Все задания №25 (152)