ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ 15838B145 из 152

Центр вписанной окружности и площадь параллелограмма

В параллелограмме $A B C D$ проведена диагональ $A C$ . Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $A B C$ . Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $A D$ и $A C$ соответственно равны 13, 8 и 5. Найдите площадь параллелограмма $A B C D$ .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 15838B.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Пусть E и F — основания перпендикуляров из O на AD и BC соответственно. Расстояние от центра вписанной окружности O до каждой стороны треугольника ABC равно её радиусу. Поэтому r равен данному расстоянию до AC, и расстояние от O до BC тоже равно r. Точка O лежит между параллельными прямыми AD и BC. Высота параллелограмма равна сумме расстояний от O до этих прямых.

r=5

h=8+5=13

$Чертёж к заданию ФИПИ 15838B. Обозначения пояснены в решении.$

Пусть P и Q — точки касания окружности со сторонами AB и AC. Радиус OP перпендикулярен AP. По теореме Пифагора в AOP находим AP; отрезки касательных из A равны.

AP=AQ=\sqrt{AO^2-r^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12

Пусть BC = a, p — полупериметр треугольника ABC. Из равенства отрезков касательных из каждой вершины:

p=a+12

Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр. С другой стороны, высота из A к BC равна высоте параллелограмма h. Приравниваем два выражения и находим a.

S_{ABC}=rp=\frac{ah}{2}

5(a+12)=\frac{13a}{2}

(8-5)a=120

a=40

Площадь параллелограмма равна произведению основания BC на расстояние между AD и BC.

S_{ABCD}=ah=40\cdot 13=520

Ответ: $520$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти площадь параллелограмма ABCD.

Идея решения

Выразим площадь треугольника ABC двумя способами: через радиус вписанной окружности и через высоту параллелограмма.

Дано: В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC . Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC . Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 8 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD .
Найти: Найти площадь параллелограмма ABCD.

Находим высоту параллелограмма

r

=5

h

=8

+5

=13

Центр вписанной окружности и площадь параллелограмма. Чертёж к задаче ФИПИ 15838B. — Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.

Вычисляем касательные из A

AP

=AQ

=\sqrt{AO^2-r^2}

=\sqrt{13^2-5^2}

=12

Выражаем полупериметр треугольника

Обозначим BC = a, полупериметр треугольника ABC — p. Если отрезки касательных из B и C равны x и y, то AB = AP + x, AC = AP + y, BC = x + y. Поэтому p = AP + x + y = AP + a.

p

=a

+12

Записываем площадь треугольника двумя способами

S_{ABC}

=rp

=\frac{ah}{2}

5(a+12)

=\frac{13a}{2}

(8-5)a

=120

a

=40

Вычисляем площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению основания BC на расстояние между AD и BC.

S_{ABCD}

=ah

=40

\cdot 13

=520

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Обоснованы вспомогательные построения и все используемые геометрические соотношения.Проверены допустимые положения точек и окружностей; учтены все варианты из условия.Получен точный ответ без преждевременного округления, с пояснением, какая величина найдена.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Находим высоту параллелограмма
Вычисляем касательные из A
Выражаем полупериметр треугольника
Записываем площадь треугольника двумя способами
Вычисляем площадь параллелограмма

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон треугольника.
Отрезки касательных к окружности из одной точки равны.
Площадь треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Окружность вписана в треугольник ABC, а не в параллелограмм: расстояние до AD не равно её радиусу.
В последнем действии нужна площадь всего параллелограмма, которая вдвое больше площади ABC.

Все задания №25 (152)