ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ 23C5ED116 из 152

Окружность через две точки, касающаяся луча

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $A C$ треугольника $A B C$ на расстояниях соответственно 12 и 21 от вершины $A$ . Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $A B$ , если $\cos ∠ B A C = \frac{\sqrt{7}}{4}$ .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 23C5ED.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Пусть T — точка касания, O — центр, R — радиус. По теореме о касательной и секущей:

AT^2=12\cdot 21=252

AT=6 \cdot \sqrt{7}

$Чертёж к заданию ФИПИ 23C5ED. Обозначения пояснены в решении.$

Угол BAC острый, поскольку его косинус положителен. Поэтому синус берём с положительным знаком.

\sin\angle BAC=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2}=\frac{3}{4}

Направим ось x вдоль AB, а треугольник расположим над ней. Тогда:

A=(0;0)

T=(6 \cdot \sqrt{7};0)

O=(6 \cdot \sqrt{7};R)

M=(3 \cdot \sqrt{7};9)

Из OM = R получаем:

\left(3 \cdot \sqrt{7}-6 \cdot \sqrt{7}\right)^2+\left(9-R\right)^2=R^2

144-2\cdot 12\cdot 6 \cdot \sqrt{7}\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}+252=2\cdot 12\cdot \frac{3}{4}\cdot R

Радиус положителен. Точка T лежит на луче AB, как требует условие.

R=\frac{12+21-2\cdot 6 \cdot \sqrt{7}\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}}{2\cdot \frac{3}{4}}=8

Ответ: $8$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти радиус окружности.

Идея решения

Сначала найдём точку касания по теореме о касательной и секущей, затем воспользуемся координатами и равенством радиусов.

Расстояния: $AM=12,\ AN=21$
Угол: $\cos\angle BAC=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$
Касание: Окружность проходит через M и N и касается именно луча AB.
Найти: Найти радиус окружности.

Находим расстояние до точки касания

Обозначим точку касания T, центр окружности O, радиус R. Так как M и N лежат на одном луче из A, а A находится вне окружности, по теореме о касательной и секущей AT² = AM · AN. Длина AT положительна.

AT^2

=12

\cdot 21

=252

AT

=6

\cdot \sqrt{7}

Окружность через две точки, касающаяся луча. Чертёж к задаче ФИПИ 23C5ED. — Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.

Вычисляем синус угла

Угол BAC острый, поскольку его косинус положителен. Поэтому синус берём с положительным знаком.

\sin\angle BAC

=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2}

=\frac{3}{4}

Вводим координаты

Начало координат поместим в A, положительную полуось x направим вдоль луча AB, а треугольник расположим над ней. Тогда координаты M равны AM cos A и AM sin A. Радиус OT перпендикулярен AB. Окружность находится над AB, так как содержит M и N, поэтому ордината O равна положительному R.

A

=(0;0)

T

=(6 \cdot \sqrt{7};0)

O

=(6 \cdot \sqrt{7};R)

M

=(3 \cdot \sqrt{7};9)

Используем равенство OM = R

Квадрат расстояния между O и M равен R². Раскрываем скобки и сокращаем R². Квадраты двух координат M в сумме равны AM², а AT² = AM · AN.

\left(3 \cdot \sqrt{7}-6 \cdot \sqrt{7}\right)^2

+\left(9-R\right)^2

=R^2

144

-2

\cdot 12

\cdot 6

\cdot \sqrt{7}

\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}

+252

=2

\cdot 12

\cdot \frac{3}{4}

\cdot R

Находим радиус и учитываем условие о луче

Делим равенство на 2 AM sin A. Точка T выбрана на положительной полуоси x, то есть на нужном луче AB. Отрицательная абсцисса точки касания дала бы касание противоположного луча и условию не соответствовала бы.

R

=\frac{12+21-2\cdot 6 \cdot \sqrt{7}\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}}{2\cdot \frac{3}{4}}

=8

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Обоснованы вспомогательные построения и все используемые геометрические соотношения.Проверены допустимые положения точек и окружностей; учтены все варианты из условия.Получен точный ответ без преждевременного округления, с пояснением, какая величина найдена.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Находим расстояние до точки касания
Вычисляем синус угла
Вводим координаты
Используем равенство OM = R
Находим радиус и учитываем условие о луче

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Квадрат длины касательной равен произведению длин секущей и её внешней части.
Радиус к точке касания перпендикулярен касательной.
Квадрат расстояния между точками равен сумме квадратов разностей их координат.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не заменяйте луч AB всей прямой: точка касания должна находиться по нужную сторону от A.
Из равенства sin² A = 1 − cos² A выбирайте положительный синус угла треугольника.

Все задания №25 (152)