ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ 97889E106 из 152

Диагонали вписанного четырёхугольника и радиус

Четырёхугольник $A B C D$ со сторонами $A B = 34$ и $C D = 22$ вписан
в окружность. Диагонали $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $K$ ,
причём $∠ A K B = 60 °$ . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 97889E.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

По теореме об угле между пересекающимися хордами сумма дуг AB и CD равна 120°.

2\angle AKB=120^\circ

$Чертёж к заданию ФИПИ 97889E. Обозначения пояснены в решении.$

Отложим за B дугу BE, равную дуге CD. Тогда BE = CD, дуга ABE равна 120°, а $\angle ABE=120^\circ$ .

BE=CD=22

\angle ABE=120^\circ

У треугольника ABE известны две стороны и угол между ними. Косинус 120° равен −1/2.

AE^2=AB^2+BE^2-2AB\cdot BE\cos120^\circ

AE^2=34^2+22^2+34\cdot 22=2388

Пусть O — центр окружности. Центральный угол AOE равен 120°, а OA = OE = R. Ещё раз применяем теорему косинусов и сравниваем найденные значения AE².

AE^2=R^2+R^2-2R^2\cos120^\circ=3R^2

R^2=\frac{2388}{3}=796

R=2 \cdot \sqrt{199}

Ответ: $2 \cdot \sqrt{199}$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти радиус описанной окружности.

Идея решения

По углу между диагоналями найдём сумму дуг и построим вспомогательный треугольник с известным углом 120°.

Дано: Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=34 и CD=22 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB=60° . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Найти: Найти радиус описанной окружности.

Находим сумму двух дуг

Угол между пересекающимися хордами равен половине суммы дуг, заключённых между сторонами этого угла и вертикального ему угла. Поэтому сумма градусных мер дуг AB и CD равна 120°.

2\angle AKB

=120^\circ

Диагонали вписанного четырёхугольника и радиус. Чертёж к задаче ФИПИ 97889E. — Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.

Строим вспомогательный треугольник

Продолжая дугу AB за B в том же направлении, отметим E так, чтобы дуга BE равнялась дуге CD. Тогда хорда BE равна CD, а дуга ABE равна 120°. Угол ABE опирается на противоположную дугу величиной 240°, поэтому он равен 120°.

BE

=CD

=22

\angle ABE

=120^\circ

Находим квадрат хорды AE по теореме косинусов

У треугольника ABE известны две стороны и угол между ними. Косинус 120° равен −1/2.

AE^2

=AB^2

+BE^2

-2AB

\cdot BE\cos120^\circ

AE^2

=34^2

+22^2

+34

\cdot 22

=2388

Связываем хорду с радиусом

AE^2

=R^2

+R^2

-2R^2\cos120^\circ

=3R^2

R^2

=\frac{2388}{3}

=796

R

=2

\cdot \sqrt{199}

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Обоснованы вспомогательные построения и все используемые геометрические соотношения.Проверены допустимые положения точек и окружностей; учтены все варианты из условия.Получен точный ответ без преждевременного округления, с пояснением, какая величина найдена.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Находим сумму двух дуг
Строим вспомогательный треугольник
Находим квадрат хорды AE по теореме косинусов
Связываем хорду с радиусом

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Угол между пересекающимися хордами равен полусумме соответствующих дуг.
Равным дугам соответствуют равные хорды.
Теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab cos C.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Угол 60° находится внутри окружности, поэтому к нему нельзя непосредственно применить теорему о вписанном угле.
В треугольнике ABE угол равен 120°, а не 60°: он опирается на противоположную дугу.

Все задания №25 (152)