ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ 5AF0E1117 из 152

Биссектриса через середину боковой стороны трапеции

Боковые стороны $A B$ и $C D$ трапеции $A B C D$ равны соответственно 20 и 29,
а основание $B C$ равно 4. Биссектриса угла $A D C$ проходит через середину стороны $A B$ . Найдите площадь трапеции.

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 5AF0E1.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

Пусть M — середина AB, $K=DM\cap BC$ . Треугольники AMD и BMK равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому BK = AD.

BK=AD

$Чертёж к заданию ФИПИ 5AF0E1. Обозначения пояснены в решении.$

Так как DK — биссектриса, углы CDK и KDA равны. Углы KDA и DKC равны из параллельности оснований. Значит, треугольник DCK равнобедренный: CK = CD. При этом CK = CB + BK.

CK=CD

AD=BK=CD-BC=29-4=25

Проведём $CE\parallel AB$ , $E\in AD$ . ABCE — параллелограмм.

CE=20

DE=25-4=21

CD=29

Проверим обратную теорему Пифагора для треугольника CED. Квадрат стороны CD равен сумме квадратов CE и DE, поэтому угол CED прямой.

20^2+21^2=841=29^2

CE\perp AD

h=CE=20

Умножаем полусумму оснований на найденную высоту.

S=\frac{AD+BC}{2}h=\frac{25+4}{2}\cdot 20=290

Ответ: $290$ .

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти площадь трапеции ABCD.

Идея решения

Продлим биссектрису до прямой BC, найдём второе основание и докажем, что боковая сторона AB является высотой.

Дано: Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 29, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB . Найдите площадь трапеции.
Найти: Найти площадь трапеции ABCD.

Используем середину боковой стороны

Пусть M — середина AB. Продлим DM до пересечения с прямой BC в точке K за B. Треугольники AMD и BMK равны: AM = MB, углы при M вертикальные, а углы MAD и MBK равны как накрест лежащие при AD ∥ BK. Поэтому BK = AD.

BK

=AD

Биссектриса через середину боковой стороны трапеции. Чертёж к задаче ФИПИ 5AF0E1. — Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.

Используем биссектрису угла D

CK

=CD

AD

=BK

=CD

-BC

=29

-4

=25

Строим треугольник с известными сторонами

Проведём CE параллельно AB до пересечения с AD. Четырёхугольник ABCE — параллелограмм, поэтому CE = AB, AE = BC. Тогда DE = AD − BC.

CE

=20

DE

=25

-4

=21

CD

=29

Доказываем, что CE является высотой

20^2

+21^2

=841

=29^2

CE\perp AD

h

=CE

=20

Вычисляем площадь

Умножаем полусумму оснований на найденную высоту.

S

=\frac{AD+BC}{2}h

=\frac{25+4}{2}

\cdot 20

=290

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла: Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл: Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов: Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Обоснованы вспомогательные построения и все используемые геометрические соотношения.Проверены допустимые положения точек и окружностей; учтены все варианты из условия.Получен точный ответ без преждевременного округления, с пояснением, какая величина найдена.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Используем середину боковой стороны
Используем биссектрису угла D
Строим треугольник с известными сторонами
Доказываем, что CE является высотой
Вычисляем площадь

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания

Равенство треугольников позволяет переносить длины через середину отрезка.
Если квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Нельзя заранее считать AB высотой: перпендикулярность нужно доказать.
Точка K лежит на продолжении BC за B, поэтому CK = CB + BK.

Все задания №25 (152)