Сдам ГИАГотовься. Решай. Сдавай!
ВойтиЧерез VK ID
Меню
ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ 1B79A180 из 152

Диаметр и углы вписанного четырёхугольника

Середина M  стороны AD  выпуклого четырёхугольника ABCD  равноудалена от всех его вершин. Найдите AD , если BC=10 , а углы B  и C  четырёхугольника равны соответственно 112°  и 113° .

Длинные формулы можно прокрутить вбок.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ

Сначала решите на бумаге

Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1B79A1.

РЕШЕНИЕ И ЗАПИСЬ НА БЛАНКЕ

Решаем и оформляем задание №25

Образец для экзамена и подробные пояснения

Образец решения на бланке №2

Чертёж, необходимые обоснования и полный ответ.

№25.

По условию MA = MB = MC = MD. Следовательно, все вершины лежат на окружности с центром M. Так как M — середина AD, сторона AD проходит через центр и является диаметром.

MA=MB=MC=MD=RMA=MB=MC=MD=R
AD=2RAD=2R
Чертёж к заданию ФИПИ 1B79A1. Обозначения пояснены в решении.

Вписанный угол ACD опирается на диаметр AD и равен 90°. В выпуклом четырёхугольнике диагональ AC находится внутри угла BCD, поэтому угол BCA равен разности углов BCD и ACD.

∠ACD=90∘\angle ACD=90^\circ
∠BCA=113∘−90∘=23∘\angle BCA=113^\circ-90^\circ=23^\circ

В треугольнике ABC используем сумму углов 180°.

∠BAC=180∘−112∘−23∘=45∘\angle BAC=180^\circ-112^\circ-23^\circ=45^\circ

Окружность четырёхугольника одновременно является описанной окружностью треугольника ABC. По расширенной теореме синусов отношение BC к синусу противолежащего угла BAC равно диаметру.

AD=2R=BCsin⁡∠BACAD=2R=\frac{BC}{\sin\angle BAC}
AD=10sin⁡45∘=1022=10⋅2AD=\frac{10}{\sin 45^\circ}=\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=10 \cdot \sqrt{2}

Ответ: 10⋅210 \cdot \sqrt{2}.

На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.

Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг

Что нужно найти

Найти сторону AD.

Идея решения

Равноудалённая от вершин середина стороны является центром окружности. Значит, эта сторона — диаметр.

Дано
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD , если BC=10 , а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112° и 113° .
Найти
Найти сторону AD.

Распознаём диаметр

По условию MA = MB = MC = MD. Следовательно, все вершины лежат на окружности с центром M. Так как M — середина AD, сторона AD проходит через центр и является диаметром.

MAMA=MB=MB=MC=MC=MD=MD=R=R
ADAD=2R=2R

Чертёж и обозначения

Диаметр и углы вписанного четырёхугольника. Чертёж к задаче ФИПИ 1B79A1.
Обозначения на чертеже
  • Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD , если BC=10 , а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112° и 113° .
  • Вспомогательные отрезки показаны пунктиром. Чертёж можно открыть крупнее.
Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.
Открыть схему крупнее ↗

Проводим диагональ AC

Вписанный угол ACD опирается на диаметр AD и равен 90°. В выпуклом четырёхугольнике диагональ AC находится внутри угла BCD, поэтому угол BCA равен разности углов BCD и ACD.

∠ACD\angle ACD=90∘=90^\circ
∠BCA\angle BCA=113∘=113^\circ−90∘-90^\circ=23∘=23^\circ

Находим угол BAC

В треугольнике ABC используем сумму углов 180°.

∠BAC\angle BAC=180∘=180^\circ−112∘-112^\circ−23∘-23^\circ=45∘=45^\circ

Находим диаметр по теореме синусов

Окружность четырёхугольника одновременно является описанной окружностью треугольника ABC. По расширенной теореме синусов отношение BC к синусу противолежащего угла BAC равно диаметру.

ADAD=2R=2R=BCsin⁡∠BAC=\frac{BC}{\sin\angle BAC}
ADAD=10sin⁡45∘=\frac{10}{\sin 45^\circ}=1022=\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=10=10 ⋅2\cdot \sqrt{2}

Что проверяет эксперт в задании №25

За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.

2 балла
Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл
Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов
Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.

Критерии приведены по проекту демоверсии ФИПИ 2027 (задание 25) и материалам для экспертов 2026. Решение может быть выполнено другим математически верным способом.

Сверьте свою запись

Отметьте пункты после сравнения с решением. Это памятка для самопроверки; итоговую оценку экзаменационной работы выставляет эксперт.

Проверено пунктов: 0 из 3.

Решение и образец записи подготовлены редакцией «Сдам ГИА». Проверены вычисления, геометрические обоснования и соответствие чертежей условию.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа
  1. Распознаём диаметр
  2. Проводим диагональ AC
  3. Находим угол BAC
  4. Находим диаметр по теореме синусов
ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Основные понятия и правила для этого задания
  • Центр окружности равноудалён от всех её точек.
  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
  • По расширенной теореме синусов a / sin A = 2R.
ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке
  • M — середина стороны AD, поэтому именно AD является диаметром.
  • При нахождении угла BCA вычитайте из угла BCD прямой угол ACD, а не наоборот.
Все задания №25 (152)