ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 25 · ФИПИ 2FA692102 из 152
Общие касательные двух касающихся окружностей
25
Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки и лежат на первой окружности, точки и на второй. При этом и общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми и .
Длинные формулы можно прокрутить вбок.
ВТОРАЯ ЧАСТЬ · ДО 2 БАЛЛОВ
Сначала решите на бумаге
Запишите номер 25, чертёж, ход решения и ответ, как на бланке №2. Затем сравните запись с образцом и проверьте обоснования.
Пусть и — центры окружностей радиусов r и R, r < R. M и N — середины хорд AB и CD. По симметрии касательных хорды перпендикулярны линии центров.
Радиусы к точкам касания параллельны. Выберем так, что . Тогда .
По косинусу найденного угла:
При r < R точка M лежит за со стороны, противоположной , а N находится между центрами. Поэтому MN равно расстоянию между центрами плюс первая проекция минус вторая. Так как AB и CD перпендикулярны линии центров, MN и есть расстояние между этими прямыми.
Ответ: .
На экзамене запишите номер задания, выполните чертёж, обоснуйте ответ. Переписывать условие не требуется. Допустим другой математически верный способ решения.
Подробный разбор: откуда берётся каждый шаг
Что нужно найти
Найти расстояние между прямыми AB и CD.
Идея решения
Используем симметрию общих касательных и проекции радиусов на линию центров.
Дано
Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD .
Найти
Найти расстояние между прямыми AB и CD.
1Проводим линию центров
Пусть центры окружностей — O1 и O2, а их радиусы r и R, где r < R. При внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов. Отражение относительно линии центров меняет местами две общие внешние касательные, поэтому A и B, а также C и D симметричны. Хорды AB и CD перпендикулярны линии центров; их середины обозначим M и N.
O1O2=r+R=32
AB⊥O1O2
CD⊥O1O2
Чертёж и обозначения
Обозначения на чертеже
Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD .
Вспомогательные отрезки показаны пунктиром. Чертёж можно открыть крупнее.
Все вспомогательные точки введены в решении. Для проверки используйте свойства фигур, а не измерения по изображению.Открыть схему крупнее ↗
2Строим вспомогательный прямоугольный треугольник
Радиусы O1A и O2C параллельны, так как перпендикулярны AC. На радиусе O2C отметим F так, чтобы O2F=R−r. Тогда O1F∥AC и O1F⊥O2F. В прямоугольном треугольнике O1FO2 находим косинус угла при O2.
O2F=R−r=8
cos∠FO2O1=R+rR−r=41
3Находим проекции радиусов
Отрезки O1M и O2N — проекции соответствующих радиусов на линию центров. Угол с направлением к меньшей окружности тот же, что найден в предыдущем шаге.
O1M=r⋅R+rR−r=3
O2N=R⋅R+rR−r=5
4Вычисляем расстояние между хордами
При r < R точка M лежит за O1 со стороны, противоположной O2, а N находится между центрами. Поэтому MN равно расстоянию между центрами плюс первая проекция минус вторая. Так как AB и CD перпендикулярны линии центров, MN и есть расстояние между этими прямыми.
MN=O1O2+O1M−O2N
MN=32+3−5=30
Что проверяет эксперт в задании №25
За задание можно получить до 2 баллов. Нужно привести обоснованное решение и правильный ответ.
2 балла
Ход решения верен, все необходимые шаги обоснованы, получен правильный ответ.
1 балл
Решение в целом правильное, но допущена вычислительная ошибка или отдельные неточности, которые не меняют общий ход решения.
0 баллов
Решение не соответствует указанным критериям. Один ответ без обоснования не заменяет развёрнутое решение.
