Задание 1 из 46Задачи с прикладным содержанием

Линия №10 · Базовый уровень

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $φ = ω t + \frac{β t ^{2}}{2}$ , где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $ω = 50 \frac{град}{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $β = 4 \frac{град}{мин ^{2}}$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $φ$ достиг $250 0^{\circ}$ . Ответ дайте в минутах.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 622297

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 25

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В условии уже дан закон поворота катушки. Неизвестно только время, поэтому подставляем φ = 2500, ω = 50 и β = 4, а затем решаем квадратное уравнение относительно t.

Ключевая идея:

после подстановки получить квадратное уравнение и из двух корней оставить только неотрицательное время

t\ge0,\qquad \varphi=50t+2t^2

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту прикладную задачу: переведём условие на язык формул, выполним вычисления и обязательно проверим ответ по смыслу величин.

Дано:

\varphi=2500^{\circ},\qquad \omega=50\;\frac{\text{град}}{\text{мин}},\qquad \beta=4\;\frac{\text{град}}{\text{мин}^2}

\varphi=\omega t+\dfrac{\beta t^2}{2}

Нужно найти: время работы лебёдки t в минутах.

План решения: после подстановки получить квадратное уравнение и из двух корней оставить только неотрицательное время.

Закон равноускоренного вращения

\varphi=\omega t+\dfrac{\beta t^2}{2}

Первое слагаемое описывает поворот с начальной угловой скоростью, второе — добавку из-за углового ускорения. Знаменатель 2 относится ко всему произведению βt².

Шаг 1. Определим неизвестную и единицы

Искомая величина t входит в формулу и в первой, и во второй степени. Все исходные данные согласованы с минутами, поэтому перевод единиц не нужен.

[t]=\text{мин},\qquad t\ge0

Шаг 2. Подставим числа в исходную формулу

Подставляем каждое число на место соответствующей буквы и отдельно упрощаем коэффициент при t².

2500=50t+\dfrac{4t^2}{2}

2500=50t+2t^2

Шаг 3. Приведём уравнение к стандартному виду

Переносим все слагаемые в одну часть. Если у коэффициентов есть общий делитель, сокращаем уравнение — корни от этого не изменяются.

2t^2+50t-2500=0

t^2+25t-1250=0

Шаг 4. Найдём оба корня квадратного уравнения

Вычисляем дискриминант, затем подставляем его квадратный корень в формулу корней.

D=25^2-4\cdot1\cdot(-1250)=5625=75^2

t_{1,2}=\dfrac{-25\pm75}{2},\qquad t_1=25,\quad t_2=-50

Шаг 5. Отберём корень по смыслу

Отрицательный корень означает момент до начала работы лебёдки и не подходит. Остаётся положительное время.

t=25\;\text{мин}

\boxed{25}

Ответ:

25

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Подстановка в физическую формулу
Неизвестную букву оставляют, а все известные величины заменяют их числовыми значениями.
$\varphi=50t+\dfrac{4t^2}{2}$
Формула корней квадратного уравнения
Для ax² + bx + c = 0 сначала находят дискриминант, затем оба возможных корня.
$D=b^2-4ac,\qquad t_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}$
Физический отбор
Время, прошедшее после начала движения, не может быть отрицательным.
$t\ge0$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Потерять знаменатель 2
Слагаемое с ускорением равно 4t²/2 = 2t², а не 4t².
$\dfrac{4t^2}{2}=2t^2$
Не перенести угол намотки
Для стандартного квадратного уравнения справа должен остаться ноль.
$2t^2+50t-2500=0$
Оставить отрицательное время
Алгебраический корень обязательно проверяется по смыслу величины t.
$t<0\;\text{— не подходит}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Коэффициент при t² упрощён верно
Проверяем деление β на 2.
$\dfrac{4}2=2$
Оба корня найдены
До смыслового отбора квадратное уравнение должно быть решено полностью.
$t_{1,2}=\dfrac{-25\pm75}{2},\qquad t_1=25,\quad t_2=-50$
Ответ записан в минутах
Берём единственный неотрицательный корень.
$\boxed{25\;\text{мин}}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена