Задание 10 из 46Задачи с прикладным содержанием

Линия №10 · Базовый уровень

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h (t) = 1, 4 + 9 t - 5 t^{2}$ , где $h$ — высота в метрах, а $t$ — время в секундах. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее $3 м$ ?

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 5F73E5

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 1,4

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Вопрос просит не момент времени, а продолжительность. Поэтому сначала находим два граничных момента h(t) = заданной высоте, затем вычитаем начало промежутка из его конца.

Ключевая идея:

решить квадратное неравенство h(t) ≥ H и вычислить длину полученного временного промежутка

\Delta t=t_2-t_1

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту прикладную задачу: переведём условие на язык формул, выполним вычисления и обязательно проверим ответ по смыслу величин.

Дано:

h(t)=1{,}4+9t-5t^2

h(t)\ge3\;\text{м}

Нужно найти: продолжительность времени, когда мяч находится не ниже 3 м.

План решения: решить квадратное неравенство h(t) ≥ H и вычислить длину полученного временного промежутка.

Квадратное неравенство для высоты

h(t)\ge H\quad\Longleftrightarrow\quad t\in[t_1;t_2]

Парабола h(t) направлена ветвями вниз. Поэтому высота не меньше заданной между двумя моментами пересечения с горизонтальным уровнем.

Шаг 1. Составим условие нужной высоты

Слова «не менее 3 метров» означают знак ≥.

1{,}4+9t-5t^2\ge3

Шаг 2. Перенесём всё в одну часть

Умножаем неравенство на −1, поэтому знак меняется на противоположный; получаем параболу с положительным старшим коэффициентом.

5t^2-9t+1{,}6\le0

Шаг 3. Найдём граничные моменты

Решаем соответствующее квадратное уравнение через дискриминант.

D=(-9)^2-4\cdot5\cdot1{,}6=49,\qquad\sqrt D=7

t_1=0{,}2,\qquad t_2=1{,}6

Шаг 4. Выберем промежуток решения

Трёхчлен с положительным коэффициентом при t² не превосходит нуля между корнями.

t\in[0{,}2;1{,}6]

Шаг 5. Найдём именно продолжительность

Из конца временного промежутка вычитаем его начало.

\Delta t=1{,}6-0{,}2=1{,}4\;\text{с}

\boxed{1{,}4}

Ответ:

1{,}4

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Перевод слов в знак
Фраза «не менее H» означает h ≥ H, а не h > H.
$h(t)\ge H$
Знаки квадратного трёхчлена
При положительном старшем коэффициенте выражение ≤ 0 между корнями.
$at^2+bt+c\le0,\ a>0\Longrightarrow t\in[t_1;t_2]$
Длина временного промежутка
Продолжительность равна разности позднего и раннего моментов.
$\Delta t=t_2-t_1$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Записать строгий знак
Моменты, когда высота ровно равна порогу, входят в условие «не менее».
$h(t)\ge H$
Назвать t₂ ответом
t₂ — момент окончания, но спрашивается длительность нахождения на высоте.
$\Delta t=1{,}6-0{,}2$
Выбрать внешние промежутки
После переноса старший коэффициент положителен, а знак ≤ 0 выполняется между корнями.
$t\in[0{,}2;1{,}6]$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Неравенство соответствует словам
Использован знак ≥ для высоты.
$h(t)\ge3$
Оба граничных момента найдены
Корни расположены по возрастанию.
$0{,}2<1{,}6$
В ответе длительность
Вычислена разность моментов и указаны секунды.
$\boxed{1{,}4\;\text{с}}$

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №10

Все задания линии №10 →

Задачи с прикладным содержаниемДля сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель…FIPI ID 622297 Задачи с прикладным содержаниемВ боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его…FIPI ID 0B62CD Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID 2E36C3 Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID BBF131 Задачи с прикладным содержаниемПри сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся навстречу друг другу со…FIPI ID 191995 Задачи с прикладным содержаниемДля получения на экране увеличенного изображения лампочки используется собирающая линза с…FIPI ID 3EDEF2

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена