Задание 3 из 46Задачи с прикладным содержанием

Линия №10 · Базовый уровень

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $f_{0} = 299 МГц$ . Скорость погружения $v$ вычисляется по формуле $v = c \cdot \frac{f - f _{0}}{f + f _{0}}$ , где $c = 1500 \frac{м}{с}$ — скорость звука в воде, а $f$ — частота отражённого от дна сигнала. Определите частоту $f$ , если скорость погружения батискафа равна $5 \frac{м}{с}$ . Ответ дайте в МГц.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 2E36C3

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 301

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

В формуле Доплера неизвестна частота f. После подстановки получается дробно-рациональное уравнение; знаменатель положителен, потому что физическая частота f положительна.

Ключевая идея:

сначала разделить обе части на скорость звука, затем перемножить пропорцию крест-накрест

\dfrac{f-299}{f+299}=\dfrac{5}{1500}=\dfrac1{300}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту прикладную задачу: переведём условие на язык формул, выполним вычисления и обязательно проверим ответ по смыслу величин.

Дано:

v=5\;\frac{\text{м}}{\text{с}},\qquad c=1500\;\frac{\text{м}}{\text{с}},\qquad f_0=299\;\text{МГц}

v=c\dfrac{f-f_0}{f+f_0}

Нужно найти: частоту отражённого сигнала f в МГц.

План решения: сначала разделить обе части на скорость звука, затем перемножить пропорцию крест-накрест.

Формула доплеровского сдвига для локатора

v=c\dfrac{f-f_0}{f+f_0}

При сближении с отражающей поверхностью отражённая частота должна быть больше исходной, поэтому итог дополнительно проверяем условием f > f₀.

Шаг 1. Подставим известные величины

Частоты оставляем в одинаковых единицах — мегагерцах.

5=1500\cdot\dfrac{f-299}{f+299}

Шаг 2. Выделим дробь с неизвестной

Делим обе части уравнения на 1500 и сокращаем полученную числовую дробь.

\dfrac{f-299}{f+299}=\dfrac{5}{1500}=\dfrac1{300}

Шаг 3. Перемножим крест-накрест

Знаменатель f + f₀ не равен нулю для положительной частоты, поэтому пропорцию можно преобразовать в линейное уравнение.

300(f-299)=f+299

Шаг 4. Решим линейное уравнение

Раскрываем скобки, переносим слагаемые с f влево, числа — вправо.

300f-89700=f+299

299f=89999

f=301

Шаг 5. Проверим физический смысл

Полученная частота 301 МГц больше исходной 299 МГц, что соответствует отражению при сближении.

301>299

f=301\;\text{МГц}

\boxed{301}

Ответ:

301

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Пропорция
Если знаменатели не равны нулю, дробное равенство можно решить перекрёстным умножением.
$\dfrac ab=\dfrac cd\Longrightarrow ad=bc$
Область допустимых значений
Знаменатель исходной формулы не должен обращаться в ноль.
$f+299\ne0$
Смысл доплеровского сдвига
В этой модели при сближении отражённая частота выше исходной.
$f>f_0$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сократить только одно слагаемое в дроби
Нельзя сокращать f − f₀ и f + f₀ по отдельным слагаемым; сокращается только общий множитель.
$\dfrac{f-299}{f+299}$
Перевернуть числовое отношение
После деления на 1500 получается 5/1500 = 1/300, а не 300.
$\dfrac{5}{1500}=\dfrac1{300}$
Не проверить направление сдвига
Ответ меньше f₀ противоречил бы описанной ситуации сближения.
$301>299$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Все частоты в МГц
f и f₀ используются в одной единице, поэтому перевод не нужен.
$[f]=[f_0]=\text{МГц}$
Пропорция составлена верно
Число в знаменателе появляется после сокращения v/c.
$\dfrac{5}{1500}=\dfrac1{300}$
Ответ проверен
Подставленная частота больше исходной и удовлетворяет уравнению.
$\boxed{301\;\text{МГц}}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена