Задание 32 из 46Задачи с прикладным содержанием

Линия №10 · Базовый уровень

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $p V^{5/3} = 6, 4 \cdot 1 0^{6} Па \cdot м^{5}$ , где $p$ — давление, $V$ — объём газа. Какой объём $V$ будет занимать газ при давлении $p = 2 \cdot 1 0^{5} Па$ ? Ответ дайте в $м^{3}$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: D888F6

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 8

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

После деления на давление получаем V^(5/3) = 32. Число 32 удобно представить как 2⁵, чтобы дробная степень 3/5 сократила показатель 5.

Ключевая идея:

выразить V^(5/3), представить 32 как 2⁵ и возвести обе части в степень 3/5

V=\left(V^{5/3}\right)^{3/5}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту прикладную задачу: переведём условие на язык формул, выполним вычисления и обязательно проверим ответ по смыслу величин.

Дано:

pV^{5/3}=6{,}4\cdot10^6

p=2\cdot10^5\;\text{Па},\qquad V>0

Нужно найти: объём газа V в м³.

План решения: выразить V^(5/3), представить 32 как 2⁵ и возвести обе части в степень 3/5.

Обратная степень для показателя 5/3

\left(V^{5/3}\right)^{3/5}=V

Объём положителен, поэтому степень 3/5 однозначно возвращает V без дополнительного отрицательного корня.

Шаг 1. Подставим давление

В исходном законе неизвестным остаётся V.

2\cdot10^5\cdot V^{5/3}=6{,}4\cdot10^6

Шаг 2. Выразим степень объёма

Делим обе части на 2·10⁵ и отдельно делим коэффициенты и степени десяти.

V^{5/3}=\dfrac{6{,}4\cdot10^6}{2\cdot10^5}=3{,}2\cdot10=32

Шаг 3. Представим 32 степенью

Это позволит точно сократить дробный показатель.

32=2^5

V^{5/3}=2^5

Шаг 4. Возведём обе части в степень 3/5

Показатели при возведении степени в степень перемножаются.

V=\left(2^5\right)^{3/5}=2^{5\cdot3/5}=2^3

Шаг 5. Вычислим и проверим

Куб двойки равен 8; объём положителен.

V=8\;\text{м}^3

8^{5/3}=(\sqrt[3]{8})^5=2^5=32

\boxed{8}

Ответ:

8

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Деление степеней десяти
При делении 10⁶ на 10⁵ показатели вычитаются.
$10^6:10^5=10$
Степень степени
Показатели 5/3 и 3/5 взаимно обратны.
$\dfrac53\cdot\dfrac35=1$
Положительность объёма
Физический объём V > 0, поэтому выбирается положительное значение.
$V>0$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Получить 3,2 вместо 32
При делении степеней десяти остаётся множитель 10.
$3{,}2\cdot10=32$
Возвести в степень 5/3 повторно
Чтобы отменить показатель 5/3, нужна обратная степень 3/5.
$(5/3)^{-1}=3/5$
Добавить отрицательный ответ
Объём неотрицателен, а равенство V^(5/3) = 32 даёт V = 8.
$V=8>0$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Числовое деление выполнено
Правая часть упрощена до 32.
$V^{5/3}=32$
32 представлено как 2⁵
Дробная степень сокращена точно.
$(2^5)^{3/5}=2^3$
Исходный закон проверен
8^(5/3) действительно равно 32.
$\boxed{8\;\text{м}^3}$

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №10

Все задания линии №10 →

Задачи с прикладным содержаниемДля сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель…FIPI ID 622297 Задачи с прикладным содержаниемВ боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его…FIPI ID 0B62CD Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID 2E36C3 Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID BBF131 Задачи с прикладным содержаниемПри сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся навстречу друг другу со…FIPI ID 191995 Задачи с прикладным содержаниемДля получения на экране увеличенного изображения лампочки используется собирающая линза с…FIPI ID 3EDEF2

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена