Задание 5 из 46Задачи с прикладным содержанием

Линия №10 · Базовый уровень

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ соответственно, частота сигнала $f$ вычисляется по формуле $f = f_{0} \cdot \frac{c + u}{c - v}$ , где $f_{0} = 140 Гц$ , $u = 15 \frac{м}{с}$ , $v = 14 \frac{м}{с}$ , а $c$ — скорость распространения сигнала. При какой скорости $c$ частота сигнала будет равна $150 Гц$ ? Ответ дайте в м/с.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 191995

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 420

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Неизвестная скорость c находится и в числителе, и в знаменателе. После подстановки сокращаем отношение f/f₀ и решаем линейное уравнение.

Ключевая идея:

разделить на f₀, получить пропорцию и перемножить её крест-накрест

\dfrac{15}{14}=\dfrac{c+15}{c-14}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту прикладную задачу: переведём условие на язык формул, выполним вычисления и обязательно проверим ответ по смыслу величин.

Дано:

f=150\;\text{Гц},\quad f_0=140\;\text{Гц},\quad u=15\;\frac{\text{м}}{\text{с}},\quad v=14\;\frac{\text{м}}{\text{с}}

f=f_0\dfrac{c+u}{c-v}

Нужно найти: скорость распространения сигнала c в м/с.

План решения: разделить на f₀, получить пропорцию и перемножить её крест-накрест.

Частота при встречном движении

f=f_0\dfrac{c+u}{c-v},\qquad c>v

Скорость распространения c должна быть больше скорости приёмника v, иначе знаменатель c − v не соответствует данной физической модели.

Шаг 1. Подставим данные

Оставляем неизвестной только скорость c.

150=140\cdot\dfrac{c+15}{c-14}

Шаг 2. Сократим отношение частот

Делим обе части на f₀ и сокращаем дробь.

\dfrac{150}{140}=\dfrac{15}{14}=\dfrac{c+15}{c-14}

Шаг 3. Перемножим крест-накрест

Так как c > v, знаменатель c − v положителен и точно не равен нулю.

15(c-14)=14(c+15)

Шаг 4. Решим уравнение

Раскрываем скобки и собираем члены с c в одной части.

15c-210=14c+210

c=420

Шаг 5. Выполним смысловую проверку

Скорость 420 м/с больше обеих скоростей движения 15 и 14 м/с; знаменатель положителен.

420>15

c=420\;\frac{\text{м}}{\text{с}}

\boxed{420}

Ответ:

420

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Дробно-рациональное уравнение
После проверки знаменателя его можно убрать перекрёстным умножением.
$c-v\ne0$
Сокращение отношения
Числовую дробь f/f₀ лучше сократить до простых целых коэффициентов.
$\dfrac{150}{140}=\dfrac{15}{14}$
Физическое ограничение
Для данной модели скорость сигнала превосходит скорости источника и приёмника.
$c>u,\qquad c>v$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Перепутать знаки u и v
В числителе стоит c + u, а в знаменателе c − v — это нужно перенести без изменений.
$\dfrac{c+u}{c-v}$
Неверно раскрыть минус в скобках
При умножении 15(c − 14) отрицательными становятся оба множителя второго слагаемого.
$15(c-14)=15c-210$
Не проверить знаменатель
Значение c = v запрещено исходной формулой.
$c\ne14$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Дробь сокращена
Проверяем отношение частот.
$\dfrac{150}{140}=\dfrac{15}{14}$
Скобки раскрыты со знаками
Отдельно контролируем произведения с u и v.
$15(c-14)=14(c+15)$
Ответ допустим
Полученная скорость не обращает знаменатель в ноль.
$\boxed{420\;\frac{\text{м}}{\text{с}}}$

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №10

Все задания линии №10 →

Задачи с прикладным содержаниемДля сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель…FIPI ID 622297 Задачи с прикладным содержаниемВ боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его…FIPI ID 0B62CD Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID 2E36C3 Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID BBF131 Задачи с прикладным содержаниемДля получения на экране увеличенного изображения лампочки используется собирающая линза с…FIPI ID 3EDEF2 Задачи с прикладным содержаниемДля получения на экране увеличенного изображения лампочки используется собирающая линза с…FIPI ID 338D5A

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена