Задание 18 из 46Задачи с прикладным содержанием

Линия №10 · Базовый уровень

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_{0} = 295 Гц$ . Частота гудка приближающегося тепловоза зависит от его скорости $v$ по закону $f (v) = \frac{f _{0}}{1 - v / c}$ , где $c = 300 \frac{м}{с}$ . Человек различает сигналы, если их частоты отличаются не менее чем на $5 Гц$ . Найдите минимальную скорость тепловоза. Ответ дайте в м/с.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 4A46D4

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 5

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Частота приближающегося источника растёт вместе со скоростью. Поэтому минимальная различимая скорость достигается на границе условия, когда разность частот равна ровно заданному числу герц.

Ключевая идея:

положить f = f₀ + 5 = 300 Гц и решить уравнение относительно v

f_{\min}=f_0+5=300\;\text{Гц}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту прикладную задачу: переведём условие на язык формул, выполним вычисления и обязательно проверим ответ по смыслу величин.

Дано:

f_0=295\;\text{Гц},\quad c=300\;\frac{\text{м}}{\text{с}},\quad f-f_0\ge5\;\text{Гц}

f(v)=\dfrac{f_0}{1-v/c}

Нужно найти: минимальную скорость приближающегося тепловоза.

План решения: положить f = f₀ + 5 = 300 Гц и решить уравнение относительно v.

Граничное значение для минимальной скорости

f(v)-f_0\ge\Delta f

При 0 ≤ v < c знаменатель уменьшается с ростом v, поэтому f(v) возрастает. Минимум скорости соответствует равенству в условии различимости.

Шаг 1. Найдём минимально различимую частоту

Для минимальной скорости берём не большую частоту, а ровно границу различимости.

f=295+5=300\;\text{Гц}

Шаг 2. Подставим частоту в формулу

Оставляем неизвестной скорость v.

300=\dfrac{295}{1-v/300}

Шаг 3. Выразим знаменатель

Умножаем обе части на знаменатель и делим на целевую частоту.

1-\dfrac v{300}=\dfrac{295}{300}=\dfrac{295}{300}=\dfrac{59}{60}

Шаг 4. Выделим долю скорости

Переносим дробь с v и вычитаем числовое отношение из единицы.

\dfrac v{300}=1-\dfrac{295}{300}=\dfrac{59}{60}=\dfrac1{60}

Шаг 5. Найдём и проверим скорость

Умножаем обе части на скорость звука. Ответ меньше c, поэтому знаменатель положителен.

v=300\cdot\dfrac1{60}=5\;\frac{\text{м}}{\text{с}}

5<300

\boxed{5}

Ответ:

5

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Минимум на границе
Для возрастающей функции минимальное значение аргумента, удовлетворяющее f − f₀ ≥ Δf, находится из равенства.
$f-f_0=\Delta f$
Допустимая скорость
Знаменатель должен быть положителен, поэтому в модели 0 ≤ v < c.
$0\le v<c$
Работа с дробью
Из f = f₀/(1 − v/c) удобно сначала выразить весь знаменатель.
$1-\dfrac vc=\dfrac{f_0}{f}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Вычесть частоты в обратном порядке
Для приближающегося тепловоза новая частота выше исходной.
$f=295+5$
Использовать строгое неравенство
Сигналы различаются уже при разности, равной заданной границе.
$f-f_0\ge5$
Потерять c при нахождении v
После вычисления v/c нужно умножить результат на c.
$v=300\cdot\dfrac1{60}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Взята граничная частота
Она равна сумме исходной частоты и минимальной разности.
$f=300\;\text{Гц}$
Доля v/c найдена
Контролируем вычитание из единицы.
$\dfrac v{300}=\dfrac1{60}$
Скорость допустима
Ответ меньше скорости распространения сигнала.
$\boxed{5\;\frac{\text{м}}{\text{с}}}$

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №10

Все задания линии №10 →

Задачи с прикладным содержаниемДля сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель…FIPI ID 622297 Задачи с прикладным содержаниемВ боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его…FIPI ID 0B62CD Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID 2E36C3 Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID BBF131 Задачи с прикладным содержаниемПри сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся навстречу друг другу со…FIPI ID 191995 Задачи с прикладным содержаниемДля получения на экране увеличенного изображения лампочки используется собирающая линза с…FIPI ID 3EDEF2

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена