Задание 11 из 46Задачи с прикладным содержанием

Линия №10 · Базовый уровень

Температура нагревательного элемента меняется по закону $T (t) = T_{0} + b t + a t^{2}$ , где $t$ — время в минутах, $T_{0} = 1600 К$ , $a = - 5 \frac{К}{мин ^{2}}$ , $b = 105 \frac{К}{мин}$ . При температуре свыше $1870 К$ прибор может испортиться. Через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор? Ответ дайте в минутах.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 98B1C6

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 3

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Опасность возникает при температуре строго выше предела. Чтобы найти последний безопасный момент до первого перегрева, приравниваем температуру к предельной и выбираем меньший положительный корень.

Ключевая идея:

найти оба момента достижения предельной температуры и взять первый из них

T(t)=1870

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту прикладную задачу: переведём условие на язык формул, выполним вычисления и обязательно проверим ответ по смыслу величин.

Дано:

T(t)=1600+105t-5t^2

T(t)\le1870\;\text{К}

Нужно найти: наибольшее безопасное время непрерывной работы прибора.

План решения: найти оба момента достижения предельной температуры и взять первый из них.

Граница безопасного режима

T(t)\le T_{\text{пред}}

При t = 0 прибор ещё безопасен. Парабола температуры сначала растёт, поэтому первый корень уравнения T(t) = Tпред — момент, позже которого температура начинает превышать допустимую.

Шаг 1. Найдём граничные моменты

На границе между безопасным и опасным режимами температура равна предельной.

1600+105t-5t^2=1870

Шаг 2. Приведём квадратное уравнение

Переносим все слагаемые и сокращаем общий множитель коэффициентов.

5t^2-105t+270=0

t^2-21t+54=0

Шаг 3. Найдём два момента достижения порога

Решаем уравнение разложением на множители.

(t-3)(t-18)=0

t_1=3,\qquad t_2=18

Шаг 4. Определим опасный интервал

Между корнями исходная парабола температуры находится выше уровня Tпред.

T(t)>1870\quad\text{при}\quad t\in(3;18)

Шаг 5. Выберем последний безопасный момент до перегрева

Прибор нужно отключить не позднее первого достижения порога, то есть через 3 минуты.

t_{\max}=3\;\text{мин}

\boxed{3}

Ответ:

3

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Граничное уравнение
Неравенство удобно исследовать через моменты равенства температур.
$T(t)=T_{\text{пред}}$
Поведение параболы
Отрицательный коэффициент при t² означает ветви вниз: между корнями температура выше уровня.
$-5<0$
Первый опасный момент
Так как работа начинается при t = 0, нужен меньший положительный корень.
$t_{\max}=t_1=3$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Выбрать больший корень
Момент 18 мин соответствует повторному охлаждению после уже произошедшего перегрева.
$t=18\;\text{— поздно}$
Считать предельную температуру уже запрещённой
В условии опасна температура свыше предела; равенство задаёт последний допустимый момент.
$T=1870\;\text{К}$
Не проверить начальный режим
При t = 0 температура равна T₀ и ниже предела, поэтому идём к первому корню.
$1600<1870$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Порог приравнен к T(t)
Решается правильное граничное уравнение.
$T(t)=1870$
Опасный интервал расположен между корнями
Учитывается направление ветвей параболы.
$t\in(3;18)$
Взят первый корень
Ответ показывает время до начала перегрева.
$\boxed{3\;\text{мин}}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена