Задание 35 из 46Задачи с прикладным содержанием

Линия №10 · Базовый уровень

Водолазный колокол содержит $ν = 3 моль$ воздуха при давлении $p_{1} = 1, 4 атм$ . Работа при изотермическом сжатии вычисляется по формуле $A = αν T lo g_{2} (\frac{p _{2}}{p _{1}})$ , где $α = 10, 9 \frac{Дж}{моль \cdot К}$ , $T = 300 К$ . Найдите конечное давление $p_{2}$ , если совершена работа $29430 Дж$ . Ответ дайте в атмосферах.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 8476CC

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 11,2

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Сначала вычисляем числовой коэффициент ανT. После деления работы на этот коэффициент получаем значение логарифма, затем переходим от логарифмической записи к показательной.

Ключевая идея:

найти log₂(p₂/p₁), заменить его равенством p₂/p₁ = 2^k и умножить на p₁

\log_2\dfrac{p_2}{1{,}4}=3\Longrightarrow\dfrac{p_2}{1{,}4}=2^{3}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту прикладную задачу: переведём условие на язык формул, выполним вычисления и обязательно проверим ответ по смыслу величин.

Дано:

A=29430\;\text{Дж},\quad \alpha=10{,}9,\quad \nu=3,\quad T=300\;\text{К},\quad p_1=1{,}4\;\text{атм}

A=\alpha\nu T\log_2\dfrac{p_2}{p_1}

Нужно найти: конечное давление p₂ в атмосферах.

План решения: найти log₂(p₂/p₁), заменить его равенством p₂/p₁ = 2^k и умножить на p₁.

Работа изотермического сжатия

A=\alpha\nu T\log_2\dfrac{p_2}{p_1}

Основание логарифма равно 2. Поэтому после нахождения логарифма отношение давлений равно соответствующей степени двойки.

Шаг 1. Подставим данные

Неизвестное давление остаётся только внутри логарифма.

29430=10{,}9\cdot3\cdot300\cdot\log_2\dfrac{p_2}{1{,}4}

Шаг 2. Вычислим коэффициент ανT

Умножаем три известных множителя.

10{,}9\cdot3\cdot300=9810

Шаг 3. Найдём значение логарифма

Делим обе части на положительный коэффициент.

\log_2\dfrac{p_2}{1{,}4}=\dfrac{29430}{9810}=3

Шаг 4. Перейдём к показательной форме

По определению логарифма аргумент равен степени основания.

\dfrac{p_2}{1{,}4}=2^{3}=8

Шаг 5. Вычислим конечное давление

Умножаем начальное давление на найденное отношение.

p_2=1{,}4\cdot8=11{,}2\;\text{атм}

\boxed{11{,}2}

Ответ:

11{,}2

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Определение логарифма
Равенство log₂x = k эквивалентно x = 2ᵏ.
$\log_2x=k\Longleftrightarrow x=2^k$
Аргумент логарифма
Отношение давлений должно быть положительным; физические давления положительны.
$\dfrac{p_2}{p_1}>0$
Смысл сжатия
Положительная работа даёт p₂/p₁ > 1, поэтому конечное давление больше начального.
$p_2>p_1$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Использовать натуральный логарифм
В формуле явно указано основание 2.
$\log_2$
Приравнять p₂ к 2ᵏ
Степени двойки равно отношение p₂/p₁, а не само p₂.
$\dfrac{p_2}{1{,}4}=8$
Разделить p₁ на множитель
Из p₂/p₁ = q следует p₂ = p₁q.
$p_2=1{,}4\cdot8$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Коэффициент вычислен
Произведение ανT сверено.
$\alpha\nu T=9810$
Логарифм переведён в степень
Основание 2 сохранено.
$2^{3}=8$
Давление проверено
Конечное давление больше начального.
$\boxed{11{,}2\;\text{атм}}$

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №10

Все задания линии №10 →

Задачи с прикладным содержаниемДля сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель…FIPI ID 622297 Задачи с прикладным содержаниемВ боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его…FIPI ID 0B62CD Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID 2E36C3 Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID BBF131 Задачи с прикладным содержаниемПри сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся навстречу друг другу со…FIPI ID 191995 Задачи с прикладным содержаниемДля получения на экране увеличенного изображения лампочки используется собирающая линза с…FIPI ID 3EDEF2

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена