Задание 7 из 46Задачи с прикладным содержанием

Линия №10 · Базовый уровень

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 36 см$ . Расстояние $d_{1}$ от линзы до лампочки может изменяться от 30 до 50 см, а расстояние $d_{2}$ от линзы до экрана — от 160 до 180 см. Изображение будет чётким, если $\frac{1}{d _{1}} + \frac{1}{d _{2}} = \frac{1}{f}$ . На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку? Ответ дайте в сантиметрах.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 338D5A

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 45

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Сначала выражаем d₁ через изменяемое расстояние d₂. Затем определяем, при каком конце разрешённого промежутка d₂ выражение для d₁ минимально.

Ключевая идея:

получить d₁ = fd₂/(d₂ − f), заметить убывание по d₂ и взять наибольшее d₂

d_1=\dfrac{fd_2}{d_2-f}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту прикладную задачу: переведём условие на язык формул, выполним вычисления и обязательно проверим ответ по смыслу величин.

Дано:

f=36\;\text{см},\quad d_1\in[30;50],\quad d_2\in[160;180]

\dfrac1{d_1}+\dfrac1{d_2}=\dfrac1f

Нужно найти: наименьшее допустимое расстояние d₁ от линзы до лампочки.

План решения: получить d₁ = fd₂/(d₂ − f), заметить убывание по d₂ и взять наибольшее d₂.

Формула тонкой собирающей линзы

\dfrac1{d_1}+\dfrac1{d_2}=\dfrac1f

Оба расстояния положительны. Здесь d₂ > f, поэтому знаменатель d₂ − f положителен на всём разрешённом промежутке.

Шаг 1. Выразим обратное расстояние 1/d₁

Переносим 1/d₂ в правую часть и приводим дроби к общему знаменателю fd₂.

\dfrac1{d_1}=\dfrac1{36}-\dfrac1{d_2}

\dfrac1{d_1}=\dfrac{d_2-36}{36d_2}

Шаг 2. Перевернём обе положительные части

На заданном промежутке d₂ − f > 0, поэтому получаем корректную формулу для d₁.

d_1=\dfrac{36d_2}{d_2-36}

Шаг 3. Выберем конец промежутка d₂

Перепишем выражение как f + f²/(d₂ − f). При росте d₂ положительная дробь уменьшается, значит уменьшается и d₁.

d_1=36+\dfrac{1296}{d_2-36}

d_2\uparrow\quad\Longrightarrow\quad d_1\downarrow

Шаг 4. Подставим наибольшее d₂

Минимум d₁ достигается при d₂ = 180 см.

d_1=\dfrac{36\cdot180}{180-36}=\dfrac{6480}{144}=45

Шаг 5. Проверим ограничение для лампочки

Полученное значение 45 см входит в разрешённый промежуток [30; 50].

45\in[30;50]

\boxed{45}

Ответ:

45

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Приведение дробей
Разность 1/f − 1/d₂ вычисляется через общий знаменатель fd₂.
$\dfrac1f-\dfrac1{d_2}=\dfrac{d_2-f}{fd_2}$
Монотонность без производной
Форма f + f²/(d₂ − f) показывает: при увеличении положительного знаменателя дробь уменьшается.
$d_1=f+\dfrac{f^2}{d_2-f}$
Проверка диапазона
Найденное расстояние должно удовлетворять одновременно формуле линзы и ограничению условия.
$d_1\in[30;50]$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сложить знаменатели
При вычитании дробей знаменатели не складывают.
$\dfrac1f-\dfrac1{d_2}=\dfrac{d_2-f}{fd_2}$
Взять минимальное d₂
В этой формуле d₁ уменьшается, когда d₂ увеличивается, поэтому нужен правый конец промежутка.
$d_2=180$
Не проверить допустимый промежуток d₁
Алгебраически найденное значение нужно сопоставить с ограничением из условия.
$30\le45\le50$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

d₁ выражено верно
Числитель fd₂, знаменатель d₂ − f.
$d_1=\dfrac{fd_2}{d_2-f}$
Для минимума выбран верный край
Берём максимально разрешённое d₂.
$d_2=180$
Ответ допустим
Расстояние находится в заданном диапазоне и записано в сантиметрах.
$\boxed{45\;\text{см}}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена