Задание 44 из 46Задачи с прикладным содержанием

Линия №10 · Базовый уровень

Масса радиоактивного изотопа уменьшается по закону $m = m_{0} \cdot 2^{- τ / T}$ , где $m_{0}$ — начальная масса, $τ$ — время в минутах, $T$ — период полураспада. Вначале масса равна $20 мг$ , период полураспада — $10 мин$ . Через сколько минут масса станет равна $5 мг$ ?

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: B01E63

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 20

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

После деления текущей массы на начальную получается простая доля — степень двойки. Равные степени с основанием 2 имеют равные показатели.

Ключевая идея:

представить отношение 5/20 как степень двойки с показателем −2 и приравнять показатели

2^{-\tau/10}=2^{-2}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту прикладную задачу: переведём условие на язык формул, выполним вычисления и обязательно проверим ответ по смыслу величин.

Дано:

m_0=20\;\text{мг},\quad m=5\;\text{мг},\quad T=10\;\text{мин}

m=m_0\cdot2^{-\tau/T}

Нужно найти: время распада в минутах.

План решения: представить отношение 5/20 как степень двойки с показателем −2 и приравнять показатели.

Закон радиоактивного распада через период полураспада

m=m_0\cdot2^{-t/T}

Отрицательный показатель отражает уменьшение массы: каждые T минут масса делится на 2.

Шаг 1. Подставим массы и период

Неизвестным оставляем время.

5=20\cdot2^{-\tau/10}

Шаг 2. Разделим на начальную массу

Получаем долю оставшегося вещества.

2^{-\tau/10}=\dfrac{5}{20}=\dfrac14

Шаг 3. Представим долю как степень двойки

Доля уменьшилась в 2^2 раз.

\dfrac14=2^{-2}

2^{-\tau/10}=2^{-2}

Шаг 4. Приравняем показатели

Показательная функция с основанием 2 принимает каждое положительное значение только один раз.

-\dfrac{\tau}{10}=-2

\dfrac{\tau}{10}=2

Шаг 5. Найдём время

Умножаем число периодов полураспада на длительность одного периода.

\tau=10\cdot2=20\;\text{мин}

\boxed{20}

Ответ:

20

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Период полураспада
За один период остаётся 1/2 массы, за n периодов — 1/2ⁿ.
$m=m_0\left(\dfrac12\right)^n$
Отрицательная степень
Степень 2⁻ⁿ равна обратному числу 1/2ⁿ.
$2^{-n}=\dfrac1{2^n}$
Равенство показателей
При одинаковом основании 2 равные степени имеют равные показатели.
$2^x=2^y\Longrightarrow x=y$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Перевернуть отношение масс
После деления на m₀ слева остаётся m/m₀, то есть число меньше единицы.
$\dfrac{m}{m_0}=\dfrac{5}{20}=\dfrac14$
Потерять минус в показателе
Масса убывает, поэтому показатель отрицательный.
$2^{-\tau/10}$
Принять число периодов за минуты
Число 2 показывает количество периодов; время равно 2·10.
$\tau=2T$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Доля массы сокращена
Получена точная степень двойки.
$\dfrac14=2^{-2}$
Показатели приравнены со знаками
Оба отрицательных знака сокращены корректно.
$\tau/10=2$
Периоды переведены в минуты
Количество периодов умножено на T.
$\boxed{20\;\text{мин}}$

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №10

Все задания линии №10 →

Задачи с прикладным содержаниемДля сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель…FIPI ID 622297 Задачи с прикладным содержаниемВ боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его…FIPI ID 0B62CD Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID 2E36C3 Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID BBF131 Задачи с прикладным содержаниемПри сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся навстречу друг другу со…FIPI ID 191995 Задачи с прикладным содержаниемДля получения на экране увеличенного изображения лампочки используется собирающая линза с…FIPI ID 3EDEF2

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена