Задание 33 из 46Задачи с прикладным содержанием

Линия №10 · Базовый уровень

Для определения температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана $P = σ S T^{4}$ , где $σ = 5, 7 \cdot 1 0^{- 8} \frac{Вт}{м ^{2} \cdot К ^{4}}$ . Площадь поверхности звезды равна $\frac{1}{2401} \cdot 1 0^{22} м^{2}$ , а мощность излучения — $5, 7 \cdot 1 0^{26} Вт$ . Найдите температуру звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 58427F

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 7000

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Подстановка выглядит громоздко, но коэффициент 5,7 сокращается. После работы со степенями десяти получается точная четвёртая степень: 2401 = 7⁴ и 10¹² = (10³)⁴.

Ключевая идея:

выразить T⁴ и распознать произведение 2401·10¹² как (7·10³)⁴

T=\sqrt[4]{\dfrac{P}{\sigma S}}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту прикладную задачу: переведём условие на язык формул, выполним вычисления и обязательно проверим ответ по смыслу величин.

Дано:

P=5{,}7\cdot10^{26}\;\text{Вт}

\sigma=5{,}7\cdot10^{-8},\qquad S=\dfrac1{2401}\cdot10^{22}\;\text{м}^2

P=\sigma ST^4

Нужно найти: температуру поверхности звезды T в кельвинах.

План решения: выразить T⁴ и распознать произведение 2401·10¹² как (7·10³)⁴.

Закон Стефана–Больцмана

P=\sigma ST^4

Температура по абсолютной шкале положительна, поэтому из равенства четвёртых степеней берём положительный корень.

Шаг 1. Подставим все известные величины

Следим за отрицательным показателем −8 и множителем 1/2401.

5{,}7\cdot10^{26}=5{,}7\cdot10^{-8}\cdot\dfrac1{2401}\cdot10^{22}\cdot T^4

Шаг 2. Сократим общий коэффициент

Делим обе части на 5,7 и объединяем степени десяти справа.

10^{26}=\dfrac1{2401}\cdot10^{14}\cdot T^4

Шаг 3. Выразим T⁴

Умножаем на 2401 и делим на 10¹⁴.

T^4=2401\cdot10^{26-14}=2401\cdot10^{12}

Шаг 4. Соберём точную четвёртую степень

Число 2401 равно 7⁴, а 10¹² равно (10³)⁴.

2401=7^4,\qquad10^{12}=(10^3)^4

T^4=(7\cdot10^3)^4

Шаг 5. Извлечём положительный корень

Абсолютная температура положительна.

T=7\cdot10^3=7000\;\text{К}

\boxed{7000}

Ответ:

7000

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Умножение степеней десяти
При умножении показатели складываются: −8 + 22 = 14.
$10^{-8}\cdot10^{22}=10^{14}$
Четвёртые степени
Произведение четвёртых степеней равно четвёртой степени произведения.
$a^4b^4=(ab)^4$
Абсолютная температура
T измеряется в кельвинах и берётся положительной.
$T>0$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Сложить −8 и 22 как 30
Показатели складываются с учётом знака: −8 + 22 = 14.
$-8+22=14$
Не распознать 2401
Число 2401 — это 7⁴.
$7^4=2401$
Взять T = ±7000
Физическая температура по Кельвину положительна.
$T=7000\;\text{К}$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Коэффициент 5,7 сокращён
Он присутствует с обеих сторон равенства.
$5{,}7:5{,}7=1$
Степени десяти обработаны
Получено T⁴ = 2401·10¹².
$T^4=2401\cdot10^{12}$
Положительный корень выбран
Ответ записан в кельвинах.
$\boxed{7000\;\text{К}}$

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №10

Все задания линии №10 →

Задачи с прикладным содержаниемДля сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель…FIPI ID 622297 Задачи с прикладным содержаниемВ боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его…FIPI ID 0B62CD Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID 2E36C3 Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID BBF131 Задачи с прикладным содержаниемПри сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся навстречу друг другу со…FIPI ID 191995 Задачи с прикладным содержаниемДля получения на экране увеличенного изображения лампочки используется собирающая линза с…FIPI ID 3EDEF2

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена