Задание 8 из 46Задачи с прикладным содержанием

Линия №10 · Базовый уровень

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_{0} = 24 \frac{м}{с}$ , начал торможение с постоянным ускорением $a = 3 \frac{м}{с ^{2}}$ . За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v_{0} t - \frac{a t ^{2}}{2}$ . Определите время, если за это время автомобиль проехал $90 м$ . Ответ дайте в секундах.

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 8027FE

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 6

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Подстановка приводит к квадратному уравнению с двумя положительными корнями. Физически формула движения применяется только до полной остановки, поэтому корни нужно сравнить со временем остановки tост = v₀/a.

Ключевая идея:

решить квадратное уравнение, вычислить время остановки и оставить корень из промежутка 0 ≤ t ≤ v₀/a

0\le t\le t_{\text{ост}},\qquad t_{\text{ост}}=\dfrac{v_0}{a}

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту прикладную задачу: переведём условие на язык формул, выполним вычисления и обязательно проверим ответ по смыслу величин.

Дано:

v_0=24\;\frac{\text{м}}{\text{с}},\quad a=3\;\frac{\text{м}}{\text{с}^2},\quad S=90\;\text{м}

S=v_0t-\dfrac{at^2}{2}

Нужно найти: время t, прошедшее во время торможения.

План решения: решить квадратное уравнение, вычислить время остановки и оставить корень из промежутка 0 ≤ t ≤ v₀/a.

Путь при равнозамедленном движении

S=v_0t-\dfrac{at^2}{2}

Минус перед at²/2 показывает уменьшение скорости. После момента остановки эта модель уже не описывает продолжающееся торможение автомобиля.

Шаг 1. Подставим путь, скорость и ускорение

Время t оставляем неизвестным; единицы уже согласованы: метры и секунды.

90=24t-\dfrac{3t^2}{2}

Шаг 2. Получим квадратное уравнение

Убираем знаменатель, переносим всё в одну часть и сокращаем коэффициенты, если это возможно.

180=48t-3t^2

t^2-16t+60=0

Шаг 3. Найдём алгебраические корни

Разложение на множители показывает два момента, в которые парабола пути принимает заданное значение.

(t-6)(t-10)=0,\qquad t_1=6,\quad t_2=10

Шаг 4. Найдём момент полной остановки

При постоянном тормозном ускорении скорость равна v(t) = v₀ − at. При v(t) = 0 получаем границу применимости формулы.

v(t)=24-3t

t_{\text{ост}}=\dfrac{24}{3}=8\;\text{с}

Шаг 5. Отберём физически допустимый корень

Только t = 6 с лежит внутри промежутка торможения. Второй корень относится к продолжению квадратичной формулы после остановки и не подходит.

0\le6\le8

t=6\;\text{с}

\boxed{6}

Ответ:

6

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Квадратичная модель пути
Заданное расстояние может дать два алгебраических корня, поэтому одного решения уравнения недостаточно.
$S(t)=v_0t-\dfrac{at^2}{2}$
Время остановки
Скорость уменьшается линейно и обращается в ноль при t = v₀/a.
$v(t)=v_0-at,\qquad t_{\text{ост}}=\dfrac{v_0}{a}$
Отбор корня
Допустимы только моменты от начала торможения до полной остановки включительно.
$0\le t\le t_{\text{ост}}$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Потерять минус
При торможении слагаемое at²/2 вычитается из v₀t.
$S=v_0t-\dfrac{at^2}{2}$
Выбрать оба положительных корня
Положительность времени необходима, но недостаточна: нужно ещё ограничение t ≤ tост.
$t\le8$
Найти остановку как a/v₀
Из v₀ − at = 0 следует t = v₀/a.
$t_{\text{ост}}=\dfrac{24}{3}=8$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Квадратное уравнение решено полностью
Зафиксированы оба его корня.
$(t-6)(t-10)=0,\qquad t_1=6,\quad t_2=10$
Граница торможения вычислена
Сравниваем корни с временем полной остановки.
$t_{\text{ост}}=8\;\text{с}$
Оставлен допустимый момент
Ответ записан в секундах.
$\boxed{6\;\text{с}}$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена