Задание 2 из 46Задачи с прикладным содержанием

Линия №10 · Базовый уровень

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды меняется по закону $H (t) = a t^{2} + b t + H_{0}$ , где $H_{0} = 8 м$ , $a = \frac{1}{72} \frac{м}{мин ^{2}}$ , $b = - \frac{2}{3} \frac{м}{мин}$ , а $t$ — время в минутах. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 0B62CD

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 24

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Пока высота воды положительна, вода вытекает. Последний момент вытекания наступает, когда высота столба воды впервые становится равной нулю.

Ключевая идея:

приравнять H(t) к нулю, убрать дроби умножением на 72 и распознать полный квадрат

H(t)=0

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём именно эту прикладную задачу: переведём условие на язык формул, выполним вычисления и обязательно проверим ответ по смыслу величин.

Дано:

H(t)=\dfrac{t^2}{72}-\dfrac{2t}{3}+8

H_0=8\;\text{м},\qquad t\ge0

Нужно найти: время до полного опустошения бака.

План решения: приравнять H(t) к нулю, убрать дроби умножением на 72 и распознать полный квадрат.

Условие опустошения бака

H(t)=0,\qquad t\ge0

Высота воды не может быть отрицательной. Поэтому граница физического процесса определяется уравнением H(t) = 0.

Шаг 1. Переведём вопрос в математическое условие

Вода закончится в тот момент, когда высота её столба станет нулевой.

H(t)=0

Шаг 2. Подставим формулу высоты

Все коэффициенты уже даны в минутах, поэтому получаем одно уравнение относительно t.

\dfrac{t^2}{72}-\dfrac{2t}{3}+8=0

Шаг 3. Уберём знаменатели

Умножаем каждое слагаемое на 72: 72/72 = 1, а 72·2/3 = 48.

72\left(\dfrac{t^2}{72}-\dfrac{2t}{3}+8\right)=0

t^2-48t+576=0

Шаг 4. Свернём полный квадрат

Число 576 равно 24², а среднее слагаемое −48t равно −2·24·t.

t^2-48t+576=(t-24)^2

(t-24)^2=0

Шаг 5. Найдём момент опустошения

Квадрат равен нулю только тогда, когда выражение в скобках равно нулю.

t-24=0

t=24\;\text{мин}

\boxed{24}

Ответ:

24

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Граница процесса
Физическое событие «вода закончилась» переводится в условие нулевой высоты.
$H(t)=0$
Умножение уравнения на общий знаменатель
Умножение обеих частей на 72 убирает все дроби и не меняет корни.
$72\cdot\dfrac{t^2}{72}=t^2,\qquad72\cdot\dfrac{2t}{3}=48t$
Квадрат двучлена
Форма a² − 2ab + b² сворачивается в (a − b)².
$t^2-2\cdot24t+24^2=(t-24)^2$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Приравнять к нулю время, а не высоту
Именно H(t) описывает количество воды по высоте; t — искомая величина.
$H(t)=0$
Неверно убрать знаменатель 3
При умножении −2t/3 на 72 получается −48t.
$72\cdot\left(-\dfrac{2t}{3}\right)=-48t$
Взять t = −24
Из (t − 24)² = 0 следует t − 24 = 0, то есть t = 24.
$(t-24)^2=0\Longrightarrow t=24$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

Событие выбрано верно
Полное опустошение соответствует нулевой высоте.
$H(t)=0$
Полный квадрат проверен
Раскрытие скобок должно вернуть исходный трёхчлен.
$(t-24)^2=t^2-48t+576$
Ответ имеет смысл
Получено положительное время в минутах.
$\boxed{24\;\text{мин}}$

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №10

Все задания линии №10 →

Задачи с прикладным содержаниемДля сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель…FIPI ID 622297 Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID 2E36C3 Задачи с прикладным содержаниемЛокатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые…FIPI ID BBF131 Задачи с прикладным содержаниемПри сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся навстречу друг другу со…FIPI ID 191995 Задачи с прикладным содержаниемДля получения на экране увеличенного изображения лампочки используется собирающая линза с…FIPI ID 3EDEF2 Задачи с прикладным содержаниемДля получения на экране увеличенного изображения лампочки используется собирающая линза с…FIPI ID 338D5A

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №10Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена