Задание 38 из 58ВекторыЯщенко · вариант 16

Линия №2

На координатной плоскости изображены векторы $a$ и $b$ , координаты у которых — целые числа. Найдите косинус угла между векторами $a$ и $b$ .

Ященко 2027, вариант 16, задание 2: векторы a и b на координатной плоскости — Векторы на координатной плоскости — рисунок из сборника Ященко, вариант 16

Источник: Ященко

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 0,28

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Разделите скалярное произведение на произведение длин двух ненулевых векторов.

Ключевая идея: Разделите скалярное произведение на произведение длин двух ненулевых векторов..

Пошаговый разбор

Наше решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Разберём задачу пошагово.

Дано:

На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b$ , координаты у которых — целые числа. Найдите косинус угла между векторами $\vec a$ и $\vec b$ .

Нужно найти: косинус угла между векторами.

План решения: Разделите скалярное произведение на произведение длин двух ненулевых векторов.

Шаг 1. Определим координаты по рисунку

Координаты вектора равны координатам его конца минус координаты начала. Направление указывает стрелка.

Вектор $\vec a$ : начало $(-5;-4)$ , конец $(-2;2)$ .

\vec a=(-2-(-5);2-(-4))=(3;6)

Вектор $\vec b$ : начало $(-6;4)$ , конец $(5;2)$ .

\vec b=(5-(-6);2-4)=(11;-2)

Шаг 2. Найдём скалярное произведение

\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y

\vec a\cdot\vec b=3\cdot 11+6\cdot (-2)=21

Шаг 3. Вычислим произведение длин

|\vec a|=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}

|\vec b|=\sqrt{11^2+(-2)^2}=\sqrt{125}

|\vec a|\,|\vec b|=\sqrt{45\cdot 125}=75

Шаг 4. Найдём косинус угла

\cos\alpha=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}

\cos\alpha=\dfrac{21}{75}=0{,}28

Результат лежит между −1 и 1, как и должно быть для косинуса.

Ответ:

0{,}28

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Формула длины вектора по координатам.
Формула скалярного произведения через косинус угла.

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Разделить на сумму длин вместо произведения.
Пропустить корень при вычислении длины вектора.

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

1
Проверьте направление каждого вектора и знаки координат.
2
Выполните действия с векторами по координатам.
3
Проверьте, что найдено именно число, указанное в вопросе.

Тренировка

Похожие задания

Ещё задачи линии №2

Все задания линии №2 →

ВекторыДаны векторы $a$ (1; 1) и $b$ (0; 7). Найдите длину вектора 8 $a$ + $b$ .FIPI ID D891F7 ВекторыДаны векторы $a$ (2; 0) и $b$ (1; 4). Найдите длину вектора $a$ + 3 $b$ .FIPI ID D331CB ВекторыДаны векторы $a$ (25; 0) и $b$ (1; −5). Найдите длину вектора $a$ − 4 $b$ .FIPI ID 40B442 ВекторыДаны векторы $a$ (31; 0) и $b$ (1; −1). Найдите длину вектора $a$ − 24 $b$ .FIPI ID C9EE7C ВекторыНа координатной плоскости изображены векторы $a$ и $b$ , координатами которых являются целые…FIPI ID 579B74 ВекторыДлины векторов $a$ и $b$ равны 3 и 5, а угол между ними равен 60°. Найдите скалярное…FIPI ID 238861

Навигация

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №2Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

На координатной плоскости изображены векторы a и b, координаты у которых — целые числа. Найдите косинус угла между векторами a и b.