ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 6 · ФИПИ 9B37E464 из 81

Деление обыкновенных дробей: 21/5 : 6/7

Найдите значение выражения $\frac{21}{5} : \frac{6}{7}$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 9B37E4.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 4,9.

Что нужно найти

Вычислить $\dfrac{21}{5}\mathbin{:}\dfrac{6}{7}$ и понять каждое преобразование.

Первая дробь: $\dfrac{21}{5}$
Вторая дробь: $\dfrac{6}{7}$
Действие: Деление
Формат ответа: Целое число или десятичная дробь

1. Читаем выражение и называем его части

Первая дробь — $\dfrac{21}{5}$ , вторая — $\dfrac{6}{7}$ .

\frac{21}{5}\mathbin{:}\frac{6}{7}

У первой дроби числитель $21$ , знаменатель $5$ ; у второй — соответственно $6$ и $7$ . Числитель показывает количество долей, знаменатель — на сколько равных частей разделено целое.

2. Почему при делении переворачиваем вторую дробь

Обратная дробь к $\dfrac{6}{7}$ — $\dfrac{7}{6}$ . Их произведение равно единице.

\frac{6}{7}\cdot \frac{7}{6}

=\frac{6\cdot 7}{7\cdot 6}

=1

\frac{21}{5}\mathbin{:}\frac{6}{7}

=\frac{21}{5}\cdot \frac{7}{6}

По правилу деления на дробь умножаем на обратную ей. Числа $6$ и $7$ меняются местами только у делителя; первая дробь остаётся прежней.

3. Записываем все множители одной дробью

Такая запись помогает увидеть, какие множители можно сократить.

\frac{21}{5}\cdot \frac{7}{6}

=\frac{21\cdot 7}{5\cdot 6}

В числителе стоят множители $21$ и $7$ , в знаменателе — $5$ и $6$ . Сокращать можно общий множитель сверху и снизу.

4. Разбираем первую пару для сокращения

Синим выделены $21$ сверху и $6$ снизу.

\frac{\textcolor{#1d4ed8}{21}\cdot 7}{5\cdot \textcolor{#1d4ed8}{6}}

21\mathbin{:}3

=7

6\mathbin{:}3

=2

\frac{\textcolor{#1d4ed8}{21}\cdot 7}{5\cdot \textcolor{#1d4ed8}{6}}

=\frac{7\cdot 7}{5\cdot 2}

Число $21$ заменили на $7$ , а $6$ — на $2$ : оба разделили на $3$ . Остальные множители не меняли. Сокращение означает деление всего числителя и всего знаменателя на один общий множитель.

5. Разбираем вторую пару для сокращения

Синим выделены $7$ сверху и $5$ снизу.

\frac{7\cdot \textcolor{#1d4ed8}{7}}{\textcolor{#1d4ed8}{5}\cdot 2}

7

5

У $7$ и $5$ нет общего простого множителя. В этой паре ничего не сокращаем: оба числа сохраняются.

6. Умножаем оставшиеся числа

После сокращения отдельно считаем числитель и знаменатель.

7\cdot 7

=49

5\cdot 2

=10

\frac{7\cdot 7}{5\cdot 2}

=\frac{49}{10}

Так появились числитель $49$ и знаменатель $10$ . Общих множителей больше нет.

Сокращение и умножение дробей. Деление заменено умножением на обратную дробь. Две строки указывают пары множителей для сокращения. Затем перемножаем оставшиеся числители и знаменатели. — Деление заменено умножением на обратную дробь. Две строки указывают пары множителей для сокращения. Затем перемножаем оставшиеся числители и знаменатели.

7. Выбираем знаменатель для десятичной записи

Удобны знаменатели 10. Нам нужен $10$ : он делится на $10$ без остатка.

10\mathbin{:}10

=1

Отсюда появился множитель $1$ . Умножим на него и числитель, и знаменатель: так значение дроби сохранится.

8. Показываем, откуда взялся новый числитель

Выполняем два умножения — отдельно вверху и внизу.

49\cdot 1

=49

10\cdot 1

=10

\frac{49}{10}

=\frac{49\cdot 1}{10\cdot 1}

=\frac{49}{10}

Число $49$ получилось из числителя $49$ , а $10$ — из знаменателя $10$ . Нельзя умножать только одно из них.

9. Разбираемся, куда поставить запятую

В знаменателе $10$ — 1 ноль. Поэтому после запятой нужно 1 цифру.

\frac{49}{10}

=4+\frac{9}{10}

=4{,}9

4{,}9

Целая часть равна $4$ ; дробная часть записывается цифрами 9. Это точная запись: округление не требуется.

10. Проверяем умножением на делитель

Частное, умноженное на исходный делитель, должно вернуть первую дробь.

4{,}9

=\frac{49}{10}

\frac{49}{10}\cdot \frac{6}{7}

=\frac{49\cdot 6}{10\cdot 7}

\frac{294}{70}

=\frac{21}{5}

Мы получили исходное делимое. Значит, делитель перевёрнут правильно и сокращения выполнены верно.

11. Записываем ответ

Осталось перенести найденное число в поле ответа.

\boxed{4{,}9}

Записываем только число. На сайте можно использовать запятую или точку; округлять ответ не нужно.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Исходное выражение	$\dfrac{21}{5}$ : $\dfrac{6}{7}$
После сокращений	$\dfrac{7 \cdot 7}{5 \cdot 2}$
Несократимая дробь	$\dfrac{49}{10}$
Числовой ответ	4,9

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Замените деление умножением на обратную дробь.
Сократите общие множители числителя и знаменателя.
Перемножьте оставшиеся числа и сократите результат, если возможно.
Переведите точную дробь в десятичную запись и выполните проверку.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Правила чтения данных и записи ответа

Произведение дробей равно произведению числителей, делённому на произведение знаменателей.
Сокращение возможно между множителями числителя и знаменателя.
Для умножения общий знаменатель не требуется.
Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

При делении переворачивайте только делитель.
Не сокращайте два множителя, стоящих только в числителе или только в знаменателе.
Не теряйте разряды при переводе в десятичную дробь.

Все задания №6 (81)