ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 6 · ФИПИ EA041931 из 81

Вычитание обыкновенных дробей: 1/2 − 9/10

Найдите значение выражения $\frac{1}{2} - \frac{9}{10}$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание EA0419.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: -0,4.

Что нужно найти

Вычислить $\dfrac{1}{2}-\dfrac{9}{10}$ и понять каждое преобразование.

Первая дробь: $\dfrac{1}{2}$
Вторая дробь: $\dfrac{9}{10}$
Действие: Вычитание
Формат ответа: Целое число или десятичная дробь

1. Читаем выражение и называем его части

Первая дробь — $\dfrac{1}{2}$ , вторая — $\dfrac{9}{10}$ .

\frac{1}{2}-\frac{9}{10}

У первой дроби числитель $1$ , знаменатель $2$ ; у второй — соответственно $9$ и $10$ . Числитель показывает количество долей, знаменатель — на сколько равных частей разделено целое.

2. Почему сначала нужны одинаковые знаменатели

В первой дроби считаются доли размера $\dfrac{1}{2}$ , во второй — $\dfrac{1}{10}$ .

\frac{1}{2}

\frac{1}{10}

Нельзя сразу выполнять действие с количеством долей разного размера. Сначала выразим обе дроби в одинаковых долях, а затем сложим или вычтем их числители.

3. Находим общий знаменатель без догадки

Пробуем больший из знаменателей — $10$ . Проверим, делится ли он на каждый исходный знаменатель.

10\mathbin{:}2

=5

10\mathbin{:}10

=1

Оба деления выполняются без остатка, поэтому подходит знаменатель $10$ . Это наименьший общий знаменатель: положительное число, кратное большему знаменателю, не может быть меньше самого этого знаменателя.

4. Находим множитель для первой дроби

Чтобы из знаменателя $2$ получить $10$ , узнаём, во сколько раз его нужно увеличить.

10\mathbin{:}2

=5

2\cdot 5

=10

Множитель $5$ появился из деления нового знаменателя на старый. Числитель тоже умножаем на $5$ : умножение дроби на $\dfrac{5}{5}$ равносильно умножению на 1.

5. Преобразуем первую дробь — показываем оба числа

Сначала записываем, что именно умножаем, затем считаем результат.

\frac{1}{2}

=\frac{1\cdot 5}{2\cdot 5}

1\cdot 5

=5

\frac{1\cdot 5}{2\cdot 5}

=\frac{5}{10}

Вверху появилось $5$ , потому что $1\cdot 5=5$ . Внизу получилось $10$ . Значение первой дроби не изменилось.

6. Так же преобразуем вторую дробь

Для второй дроби отдельно считаем её множитель: $10\mathbin{:}10=1$ .

\frac{9}{10}

=\frac{9\cdot 1}{10\cdot 1}

=\frac{9}{10}

Знаменатель уже равен общему. Умножение на 1 ничего не меняет, поэтому вторую дробь просто переписываем.

7. Возвращаем преобразованные дроби в выражение

Теперь обе дроби имеют один и тот же знаменатель.

\frac{1}{2}-\frac{9}{10}

=\frac{5}{10}-\frac{9}{10}

Числа $5$ и $9$ — новые числители, найденные на предыдущих шагах. Знаменатель $10$ одинаков: теперь размеры долей совпадают.

8. Выполняем действие только с числителями

Знаменатель $10$ сохраняем. С числителями выполняем действие из условия.

\frac{5}{10}-\frac{9}{10}

=\frac{5-9}{10}

5-9

=-4

\frac{5-9}{10}

=\frac{-4}{10}

Из $5$ вычитаем большее число $9$ . Разность отрицательная: $9-5=4$ , поэтому в числителе появляется $-4$ .

Приведение к общему знаменателю. Обе дроби приведены к знаменателю 10. Действие выполняется с числителями; размер долей не меняется. Отрицательный числитель означает отрицательный ответ. — Обе дроби приведены к знаменателю 10. Действие выполняется с числителями; размер долей не меняется. Отрицательный числитель означает отрицательный ответ.

9. Объясняем сокращение дроби

И числитель по модулю, и знаменатель содержат общий множитель $2$ .

4

=2\cdot 2

10

=2\cdot 5

-4\mathbin{:}2

=-2

10\mathbin{:}2

=5

\frac{-4}{10}

=\frac{-4\mathbin{:}2}{10\mathbin{:}2}

=\frac{-2}{5}

Делим оба числа на $2$ . Получаем числитель $-2$ и знаменатель $5$ . Минус никуда не исчезает: деление отрицательного числа на положительное сохраняет минус.

10. Выбираем знаменатель для десятичной записи

Удобны знаменатели 10. Нам нужен $10$ : он делится на $5$ без остатка.

10\mathbin{:}5

=2

Отсюда появился множитель $2$ . Умножим на него и числитель, и знаменатель: так значение дроби сохранится.

11. Показываем, откуда взялся новый числитель

Выполняем два умножения — отдельно вверху и внизу.

-2\cdot 2

=-4

5\cdot 2

=10

\frac{-2}{5}

=\frac{-2\cdot 2}{5\cdot 2}

=\frac{-4}{10}

Число $-4$ получилось из числителя $-2$ , а $10$ — из знаменателя $5$ . Нельзя умножать только одно из них.

12. Разбираемся, куда поставить запятую

В знаменателе $10$ — 1 ноль. Поэтому после запятой нужно 1 цифру.

\frac{4}{10}

=0+\frac{4}{10}

=0{,}4

\frac{-4}{10}

=-\frac{4}{10}

=-0{,}4

Целая часть равна $0$ ; дробная часть записывается цифрами 4. Если целых нет, перед запятой ставим 0. Минус относится ко всему числу и сохраняется.

13. Проверяем результат обратным действием

К найденной разности прибавим вычитаемое.

-0{,}4

=\frac{-4}{10}

\frac{-4}{10}+\frac{9}{10}

=\frac{-4+9}{10}

=\frac{5}{10}

\frac{5}{10}

=\frac{1}{2}

Вернулись к первой дроби исходного выражения. Значит, величина результата и его знак согласуются с условием.

14. Записываем ответ

Осталось перенести найденное число в поле ответа.

\boxed{-0{,}4}

Записываем только число. Минус обязателен. На сайте можно использовать запятую или точку; округлять ответ не нужно.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Общий знаменатель	10
Первая дробь после приведения	$\dfrac{5}{10}$
Вторая дробь после приведения	$\dfrac{9}{10}$
Точный результат	−0,4

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Найдите общий знаменатель обеих дробей.
Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
Выполните действие с числителями, сохранив общий знаменатель.
Сократите дробь, переведите в десятичную запись и проверьте обратным действием.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Правила чтения данных и записи ответа

Числитель считает доли, знаменатель задаёт размер доли.
Умножение числителя и знаменателя на одно число сохраняет значение дроби.
При сложении и вычитании нужны одинаковые знаменатели.
Если из меньшего положительного числа вычесть большее, получится отрицательное число.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не складывайте и не вычитайте знаменатели.
Не меняйте только знаменатель: числитель тоже умножается.
Не меняйте порядок вычитания и не теряйте минус.

Все задания №6 (81)