ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 6 · ФИПИ D39BF58 из 81

Дробь с суммой в знаменателе: 1 : (1/30 + 1/42)

Найдите значение выражения $\frac{1}{\frac{1}{30} + \frac{1}{42}}$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание D39BF5.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: 17,5.

Что нужно найти

Вычислить $\dfrac{1}{\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{42}}$ без округления и понять каждую дробную черту.

Числитель большой дроби: 1
Знаменатель большой дроби: $\dfrac{1}{30}$ + $\dfrac{1}{42}$
Первое действие: Сложить дроби в знаменателе
Последнее действие: Разделить 1 на найденную сумму

1. Разбираем устройство большой дроби

Вверху большой дроби стоит 1. Внизу — вся сумма двух маленьких дробей.

\frac{1}{\frac{1}{30}+\frac{1}{42}}

\frac{1}{\frac{1}{30}+\frac{1}{42}}

=1\mathbin{:}(\frac{1}{30}+\frac{1}{42})

Большая дробная черта группирует всё, что находится под ней. Поэтому сначала вычисляем знаменатель целиком, затем делим единицу на результат.

2. Понимаем, что нужно сделать сначала

Нижняя часть — сумма $\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{42}$ .

\frac{1}{30}+\frac{1}{42}

Знаменатели 30 и 42 различны. Сначала выразим маленькие дроби в одинаковых долях. Складывать 30 и 42 нельзя.

3. Разлагаем знаменатели на множители

Выделим простые множители каждого числа.

30

=2\cdot 3\cdot 5

42

=2\cdot 3\cdot 7

Множители 2 и 3 есть в обоих знаменателях. Для числа 30 ещё нужен множитель 5, а для числа 42 — множитель 7.

4. Объясняем, откуда взялся знаменатель 210

Берём общие множители 2 и 3 по одному разу и добавляем необходимые 5 и 7.

2\cdot 3\cdot 5\cdot 7

=210

210\mathbin{:}30

=7

210\mathbin{:}42

=5

Получилось число, которое делится и на 30, и на 42. Множители 7 и 5 в двух последних строках показывают, как преобразовать каждую дробь.

5. Преобразуем первую маленькую дробь

Для знаменателя 30 нужен множитель 7: он получен из 210 : 30.

\frac{1}{30}

=\frac{1\cdot 7}{30\cdot 7}

=\frac{7}{210}

Числитель 7 появился из 1 × 7, знаменатель 210 — из 30 × 7. Умножены оба числа, поэтому значение дроби сохранилось.

6. Преобразуем вторую маленькую дробь

Для знаменателя 42 нужен свой множитель 5: он получен из 210 : 42.

\frac{1}{42}

=\frac{1\cdot 5}{42\cdot 5}

=\frac{5}{210}

Числитель 5 появился из 1 × 5, знаменатель 210 — из 42 × 5. Теперь обе дроби выражены в одинаковых долях.

7. Складываем только числители

После приведения размеры долей одинаковы.

\frac{1}{30}+\frac{1}{42}

=\frac{7}{210}+\frac{5}{210}

\frac{7}{210}+\frac{5}{210}

=\frac{7+5}{210}

=\frac{12}{210}

Число 12 появилось из 7 + 5. Знаменатель 210 сохраняем: размер одной доли при сложении не изменяется.

8. Объясняем сокращение на 6

Числитель 12 и знаменатель 210 имеют общий множитель 6.

12

=2\cdot 2\cdot 3

210

=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7

2\cdot 3

=6

\frac{12}{210}

=\frac{12\mathbin{:}6}{210\mathbin{:}6}

=\frac{2}{35}

Общие множители 2 и 3 дают 6. Число 2 получилось из 12 : 6; число 35 — из 210 : 6. Это значение всего знаменателя большой дроби, ещё не окончательный ответ.

Сначала вычисляем весь знаменатель. Дроби 1/30 и 1/42 превращаются в 7/210 и 5/210. Их сумма 12/210 сокращается до 2/35. — Дроби 1/30 и 1/42 превращаются в 7/210 и 5/210. Их сумма 12/210 сокращается до 2/35.

9. Подставляем найденный знаменатель

Вернёмся к большой дроби, числитель которой равен 1.

\frac{1}{\frac{1}{30}+\frac{1}{42}}

=\frac{1}{\frac{2}{35}}

\frac{1}{\frac{2}{35}}

=1\mathbin{:}\frac{2}{35}

Вся сумма внизу заменена на равную ей дробь. Теперь осталось разделить единицу на эту дробь.

10. Почему получаем обратную дробь

Деление на дробь заменяем умножением на обратную.

1\mathbin{:}\frac{2}{35}

=1\cdot \frac{35}{2}

=\frac{35}{2}

\frac{2}{35}\cdot \frac{35}{2}

=1

Числа 2 и 35 поменялись местами у делителя. Вторая строка показывает, почему дроби обратные: их произведение равно 1.

11. Выбираем знаменатель для десятичной записи

Удобны знаменатели 10. Нам нужен $10$ : он делится на $2$ без остатка.

10\mathbin{:}2

=5

Отсюда появился множитель $5$ . Умножим на него и числитель, и знаменатель: так значение дроби сохранится.

12. Показываем, откуда взялся новый числитель

Выполняем два умножения — отдельно вверху и внизу.

35\cdot 5

=175

2\cdot 5

=10

\frac{35}{2}

=\frac{35\cdot 5}{2\cdot 5}

=\frac{175}{10}

Число $175$ получилось из числителя $35$ , а $10$ — из знаменателя $2$ . Нельзя умножать только одно из них.

13. Разбираемся, куда поставить запятую

В знаменателе $10$ — 1 ноль. Поэтому после запятой нужно 1 цифру.

\frac{175}{10}

=17+\frac{5}{10}

=17{,}5

17{,}5

Целая часть равна $17$ ; дробная часть записывается цифрами 5. Это точная запись: округление не требуется.

Затем делим единицу на найденную сумму. Значение знаменателя — 2/35. Деление 1 на 2/35 даёт обратную дробь 35/2, то есть 17,5. — Значение знаменателя — 2/35. Деление 1 на 2/35 даёт обратную дробь 35/2, то есть 17,5.

14. Проверяем всю исходную дробь

Частное, умноженное на весь знаменатель, должно вернуть числитель 1.

17{,}5

=\frac{35}{2}

\frac{35}{2}\cdot \frac{2}{35}

=\frac{35\cdot 2}{2\cdot 35}

=1

Получили числитель исходной большой дроби. Значит, сумма в знаменателе, переход к обратной дроби и десятичная запись согласованы.

15. Записываем ответ

Осталось перенести найденное число в поле ответа.

\boxed{17{,}5}

Записываем только число. На сайте можно использовать запятую или точку; округлять ответ не нужно.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Общий знаменатель	210
Сумма в знаменателе	$\dfrac{12}{210}$ = $\dfrac{2}{35}$
Результат деления	$\dfrac{35}{2}$
Ответ	17,5

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Сначала вычислите всё выражение под большой дробной чертой.
Приведите маленькие дроби к общему знаменателю и сложите.
Сократите сумму и разделите 1 на неё, используя обратную дробь.
Переведите ответ в десятичную запись и проверьте умножением.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Правила чтения данных и записи ответа

Дробная черта группирует всё выражение в знаменателе.
Дроби складывают после приведения к общему знаменателю.
Деление на дробь — умножение на обратную дробь.
Точные обыкновенные дроби позволяют избежать ошибок раннего округления.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не превращайте выражение в 1 : ( $\dfrac{1}{30}$ ) + $\dfrac{1}{42}$ .
Не выдавайте найденную сумму $\dfrac{2}{35}$ за окончательный ответ.
Не заменяйте $\dfrac{1}{30}$ и $\dfrac{1}{42}$ округлёнными десятичными значениями.

Все задания №6 (81)