ОГЭ · Математика · 9 классЗадание 6 · ФИПИ 1FC3AA45 из 81

Вычитание обыкновенных дробей: 1/10 − 23/20

Найдите значение выражения $\frac{1}{10} - \frac{23}{20}$ .

Условие: открытый банк ФИПИ, задание 1FC3AA.

ОТВЕТ И ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ

Разбираем шаг за шагом

Сначала попробуйте решить самостоятельно

Ответ: -1,05.

Что нужно найти

Вычислить $\dfrac{1}{10}-\dfrac{23}{20}$ и понять каждое преобразование.

Первая дробь: $\dfrac{1}{10}$
Вторая дробь: $\dfrac{23}{20}$
Действие: Вычитание
Формат ответа: Целое число или десятичная дробь

1. Читаем выражение и называем его части

Первая дробь — $\dfrac{1}{10}$ , вторая — $\dfrac{23}{20}$ .

\frac{1}{10}-\frac{23}{20}

У первой дроби числитель $1$ , знаменатель $10$ ; у второй — соответственно $23$ и $20$ . Числитель показывает количество долей, знаменатель — на сколько равных частей разделено целое.

2. Почему сначала нужны одинаковые знаменатели

В первой дроби считаются доли размера $\dfrac{1}{10}$ , во второй — $\dfrac{1}{20}$ .

\frac{1}{10}

\frac{1}{20}

Нельзя сразу выполнять действие с количеством долей разного размера. Сначала выразим обе дроби в одинаковых долях, а затем сложим или вычтем их числители.

3. Находим общий знаменатель без догадки

Пробуем больший из знаменателей — $20$ . Проверим, делится ли он на каждый исходный знаменатель.

20\mathbin{:}10

=2

20\mathbin{:}20

=1

Оба деления выполняются без остатка, поэтому подходит знаменатель $20$ . Это наименьший общий знаменатель: положительное число, кратное большему знаменателю, не может быть меньше самого этого знаменателя.

4. Находим множитель для первой дроби

Чтобы из знаменателя $10$ получить $20$ , узнаём, во сколько раз его нужно увеличить.

20\mathbin{:}10

=2

10\cdot 2

=20

Множитель $2$ появился из деления нового знаменателя на старый. Числитель тоже умножаем на $2$ : умножение дроби на $\dfrac{2}{2}$ равносильно умножению на 1.

5. Преобразуем первую дробь — показываем оба числа

Сначала записываем, что именно умножаем, затем считаем результат.

\frac{1}{10}

=\frac{1\cdot 2}{10\cdot 2}

1\cdot 2

=2

\frac{1\cdot 2}{10\cdot 2}

=\frac{2}{20}

Вверху появилось $2$ , потому что $1\cdot 2=2$ . Внизу получилось $20$ . Значение первой дроби не изменилось.

6. Так же преобразуем вторую дробь

Для второй дроби отдельно считаем её множитель: $20\mathbin{:}20=1$ .

\frac{23}{20}

=\frac{23\cdot 1}{20\cdot 1}

=\frac{23}{20}

Знаменатель уже равен общему. Умножение на 1 ничего не меняет, поэтому вторую дробь просто переписываем.

7. Возвращаем преобразованные дроби в выражение

Теперь обе дроби имеют один и тот же знаменатель.

\frac{1}{10}-\frac{23}{20}

=\frac{2}{20}-\frac{23}{20}

Числа $2$ и $23$ — новые числители, найденные на предыдущих шагах. Знаменатель $20$ одинаков: теперь размеры долей совпадают.

8. Выполняем действие только с числителями

Знаменатель $20$ сохраняем. С числителями выполняем действие из условия.

\frac{2}{20}-\frac{23}{20}

=\frac{2-23}{20}

2-23

=-21

\frac{2-23}{20}

=\frac{-21}{20}

Из $2$ вычитаем большее число $23$ . Разность отрицательная: $23-2=21$ , поэтому в числителе появляется $-21$ .

Приведение к общему знаменателю. Обе дроби приведены к знаменателю 20. Действие выполняется с числителями; размер долей не меняется. Отрицательный числитель означает отрицательный ответ. — Обе дроби приведены к знаменателю 20. Действие выполняется с числителями; размер долей не меняется. Отрицательный числитель означает отрицательный ответ.

9. Проверяем, можно ли сократить дробь

Разложим положительный числитель или его модуль и знаменатель на множители.

21

=3\cdot 7

20

=2\cdot 2\cdot 5

В этих разложениях нет общего простого множителя. Поэтому $\dfrac{-21}{20}$ не сокращается; переходим к десятичной записи.

10. Выбираем знаменатель для десятичной записи

Удобны знаменатели 10, 100. Нам нужен $100$ : он делится на $20$ без остатка.

100\mathbin{:}20

=5

Отсюда появился множитель $5$ . Умножим на него и числитель, и знаменатель: так значение дроби сохранится.

11. Показываем, откуда взялся новый числитель

Выполняем два умножения — отдельно вверху и внизу.

-21\cdot 5

=-105

20\cdot 5

=100

\frac{-21}{20}

=\frac{-21\cdot 5}{20\cdot 5}

=\frac{-105}{100}

Число $-105$ получилось из числителя $-21$ , а $100$ — из знаменателя $20$ . Нельзя умножать только одно из них.

12. Разбираемся, куда поставить запятую

В знаменателе $100$ — 2 нуля. Поэтому после запятой нужно 2 цифры.

\frac{105}{100}

=1+\frac{5}{100}

=1{,}05

\frac{-105}{100}

=-\frac{105}{100}

=-1{,}05

Целая часть равна $1$ ; дробная часть записывается цифрами 05. Минус относится ко всему числу и сохраняется.

13. Проверяем результат обратным действием

К найденной разности прибавим вычитаемое.

-1{,}05

=\frac{-21}{20}

\frac{-21}{20}+\frac{23}{20}

=\frac{-21+23}{20}

=\frac{2}{20}

\frac{2}{20}

=\frac{1}{10}

Вернулись к первой дроби исходного выражения. Значит, величина результата и его знак согласуются с условием.

14. Записываем ответ

Осталось перенести найденное число в поле ответа.

\boxed{-1{,}05}

Записываем только число. Минус обязателен. На сайте можно использовать запятую или точку; округлять ответ не нужно.

Проверяем вычисления
Данные из условия	Результат
Общий знаменатель	20
Первая дробь после приведения	$\dfrac{2}{20}$
Вторая дробь после приведения	$\dfrac{23}{20}$
Точный результат	−1,05

Решение подготовлено редакцией «Сдам ГИА». Ответ сверен с проверкой открытого банка ФИПИ.

КАК РЕШАТЬ

Памятка

Порядок действий для задач этого типа

Найдите общий знаменатель обеих дробей.
Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
Выполните действие с числителями, сохранив общий знаменатель.
Сократите дробь, переведите в десятичную запись и проверьте обратным действием.

ОПОРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ

Что нужно знать

Правила чтения данных и записи ответа

Числитель считает доли, знаменатель задаёт размер доли.
Умножение числителя и знаменателя на одно число сохраняет значение дроби.
При сложении и вычитании нужны одинаковые знаменатели.
Если из меньшего положительного числа вычесть большее, получится отрицательное число.

ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Типичные ошибки

На что обратить внимание при самопроверке

Не складывайте и не вычитайте знаменатели.
Не меняйте только знаменатель: числитель тоже умножается.
Не меняйте порядок вычитания и не теряйте минус.

Все задания №6 (81)