Задание 1 из 33Уравнения

Линия №7 · Базовый уровень

Найдите корень уравнения $lo g_{2} (x - 2)$ = $lo g_{2} 11$ .

Источник: Открытый банк заданий ФИПИ ↗ · FIPI ID: 517970

Ответ:

Показать ответ

Ответ: 13

Объяснение

Как решать это задание

Ключевая идея и подход к задаче

Это логарифмическое уравнение с одинаковыми основаниями. Сначала обязательно ограничим допустимые значения переменной, а затем используем взаимную однозначность логарифмической функции.

\log_2(x-2)=\log_2 11

Ключевая идея:

После проверки области допустимых значений равенство логарифмов с одним и тем же допустимым основанием можно заменить равенством их аргументов.

\log_a u=\log_a v,\quad a>0,\ a\ne1,\ u>0,\ v>0\quad\Longleftrightarrow\quad u=v

Пошаговый разбор

Пошаговое решение

Подробные вычисления, пояснения и ответ

Исходное уравнение

\log_2(x-2)=\log_2 11

Шаг 1. Запишем область допустимых значений

Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Для переменной ограничение даёт левый аргумент.

x-2>0

x>2

Шаг 2. Проверим основание логарифмов

Основание положительно и не равно единице, поэтому логарифмическая функция определена и принимает каждое значение только один раз.

2>0,\qquad 2\ne1

Шаг 3. Приравняем аргументы

Основания слева и справа совпадают, а аргументы допустимы. Значит, от логарифмов можно перейти к обычному линейному уравнению.

\log_2(x-2)=\log_2 11

x-2=11

Шаг 4. Решим линейное уравнение

Переносим известное число в другую часть и аккуратно учитываем знак перед переменной.

x=11+2

x=13

Шаг 5. Выполним проверку

Подставляем найденное число в исходный аргумент. Он должен быть положительным, а обе части исходного уравнения — совпасть.

13>2

\log_2(13-2)=\log_2 11

Найденное значение входит в ОДЗ, поэтому оно является корнем исходного уравнения.

Ответ

x=13

Теория

Что нужно знать

Правила и свойства для этого типа задач

Область определения логарифма
Подлогарифмическое выражение всегда должно быть строго больше нуля. В этой задаче получается следующее точное ограничение:
$x-2>0\quad\Longrightarrow\quad x>2$
Равенство логарифмов
При одинаковом допустимом основании логарифмы равны тогда и только тогда, когда равны их положительные аргументы.
$\log_{2}u=\log_{2}v\Longleftrightarrow u=v$
Проверка корня
Для логарифмического уравнения недостаточно решить полученное линейное уравнение: результат обязательно сверяют с ОДЗ и исходным равенством.
$\log_2(13-2)=\log_2 11$

Открыть теорию по математике →

Самопроверка

Типичные ошибки

На что обратить внимание перед ответом

Забыть про ОДЗ
Нельзя приравнивать аргументы, не убедившись, что логарифмы существуют. Граница ОДЗ в ответ не входит, потому что требуется строгое неравенство.
$x>2$
Неверно перенести число 2
Чтобы убрать минус два слева, к обеим частям прибавляют два.
$x-2=11\Longrightarrow x=11+2=13$
Сократить разные логарифмы
Правило приравнивания аргументов работает здесь именно потому, что основания слева и справа одинаковы.
$\log_2(x-2)=\log_2 11$

Алгоритм

Как проверить себя

Короткий контрольный список перед ответом

ОДЗ записано
Проверьте, что найденное число удовлетворяет строгому ограничению на аргумент.
$13\in\mathrm{ОДЗ}$
Аргументы приравнены
Убедитесь, что одинаковые основания были замечены до перехода к линейному уравнению.
$x-2=11$
Подстановка выполнена
Левая и правая части исходного равенства после подстановки должны совпасть.
$\log_2(13-2)=\log_2 11$

Тренировка

Продолжить подготовку

Банк задач, конструктор и пробный ЕГЭ

Все задания линии №7Перейти к списку и выбрать следующую задачу Банк по математикеВыбрать другой номер ЕГЭ Конструктор вариантаСобрать тренировочный вариант Пробный ЕГЭРешить задания в режиме экзамена

Найдите корень уравнения log2​(x−2) = log2​11.